Номер 23, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

23. Докажите признаки подобия треугольников.

Первый признак подобия треугольников

Теорема (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$.

Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Поскольку сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, то $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$, а $\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)$. Из условия $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$ следует, что и $\angle C = \angle C_1$. Таким образом, все углы данных треугольников соответственно равны.

2. Докажем пропорциональность сторон. Построим на стороне $AB$ треугольника $ABC$ отрезок $AB_2$ так, чтобы $AB_2 = A_1B_1$. Через точку $B_2$ проведём прямую, параллельную стороне $BC$, которая пересечёт сторону $AC$ в точке $C_2$.

3. Рассмотрим полученный $\triangle AB_2C_2$. Так как $B_2C_2 \parallel BC$, то по теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса) $\triangle AB_2C_2 \sim \triangle ABC$. Также, поскольку $B_2C_2 \parallel BC$, то $\angle AB_2C_2 = \angle ABC = \angle B$ (как соответственные углы при параллельных прямых и секущей $AB$).

4. Сравним $\triangle AB_2C_2$ и $\triangle A_1B_1C_1$. У них: $\angle A = \angle A_1$ (по условию), $AB_2 = A_1B_1$ (по построению), и $\angle AB_2C_2 = \angle B = \angle B_1$ (по доказанному и по условию). Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) $\triangle AB_2C_2 \cong \triangle A_1B_1C_1$.

5. Из подобия $\triangle AB_2C_2 \sim \triangle ABC$ следует, что $\frac{AB}{AB_2} = \frac{AC}{AC_2} = \frac{BC}{B_2C_2}$.

6. Из равенства $\triangle AB_2C_2 \cong \triangle A_1B_1C_1$ следует, что $AB_2 = A_1B_1$, $AC_2 = A_1C_1$ и $B_2C_2 = B_1C_1$. Подставив эти равенства в пропорцию из предыдущего пункта, получаем: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$.

7. Мы показали, что у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Значит, по определению, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Теорема доказана.

Ответ: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Теорема (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$ и $\angle A = \angle A_1$.

Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Чтобы доказать подобие, достаточно показать, что помимо равных углов $A$ и $A_1$, равны также, например, углы $B$ и $B_1$. Тогда по первому признаку подобия (по двум углам) треугольники будут подобны.

2. Построим на стороне $AB$ треугольника $ABC$ отрезок $AB_2 = A_1B_1$, а на стороне $AC$ — отрезок $AC_2 = A_1C_1$.

3. Рассмотрим $\triangle AB_2C_2$ и $\triangle A_1B_1C_1$. У них: $AB_2 = A_1B_1$ и $AC_2 = A_1C_1$ (по построению), а $\angle A = \angle A_1$ (по условию). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle AB_2C_2 \cong \triangle A_1B_1C_1$.

4. Из условия $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$ и нашего построения ($AB_2=A_1B_1$, $AC_2=A_1C_1$) следует, что $\frac{AB}{AB_2} = \frac{AC}{AC_2}$.

5. Это означает, что стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ пропорциональны сторонам $AB_2$ и $AC_2$ треугольника $AB_2C_2$. Так как угол $A$ у этих треугольников общий, то по теореме, обратной обобщённой теореме Фалеса, прямая $B_2C_2$ параллельна прямой $BC$.

6. Поскольку $B_2C_2 \parallel BC$, то соответственные углы при секущей $AB$ равны: $\angle AB_2C_2 = \angle ABC = \angle B$.

7. Из равенства $\triangle AB_2C_2 \cong \triangle A_1B_1C_1$ (доказанного в п. 3) следует, что $\angle AB_2C_2 = \angle A_1B_1C_1 = \angle B_1$.

8. Из пунктов 6 и 7 следует, что $\angle B = \angle B_1$.

9. Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ имеется по два равных угла: $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. По первому признаку подобия $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Теорема доказана.

Ответ: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Теорема (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Чтобы доказать подобие, достаточно доказать равенство одной пары соответственных углов, например, $\angle A = \angle A_1$. Тогда, используя данную пропорциональность сторон $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$, можно будет применить второй признак подобия.

2. Построим на стороне $AB$ треугольника $ABC$ отрезок $AB_2$ так, чтобы $AB_2 = A_1B_1$. Через точку $B_2$ проведём прямую, параллельную стороне $BC$, которая пересечёт сторону $AC$ в точке $C_2$.

3. По построению $B_2C_2 \parallel BC$, следовательно, $\triangle AB_2C_2 \sim \triangle ABC$. Из этого подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{AB}{AB_2} = \frac{AC}{AC_2} = \frac{BC}{B_2C_2}$.

4. Сравним эту пропорцию с той, что дана в условии: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

5. Так как по построению $AB_2 = A_1B_1$, первые отношения в обеих пропорциях равны: $\frac{AB}{AB_2} = \frac{AB}{A_1B_1}$. Значит, равны и остальные отношения.

6. Из $\frac{AC}{AC_2} = \frac{AC}{A_1C_1}$ следует, что $AC_2 = A_1C_1$. Из $\frac{BC}{B_2C_2} = \frac{BC}{B_1C_1}$ следует, что $B_2C_2 = B_1C_1$.

7. Теперь сравним $\triangle AB_2C_2$ и $\triangle A_1B_1C_1$. У них: $AB_2 = A_1B_1$ (по построению), $AC_2 = A_1C_1$ (из п. 6), $B_2C_2 = B_1C_1$ (из п. 6). Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) $\triangle AB_2C_2 \cong \triangle A_1B_1C_1$.

8. Из равенства треугольников следует равенство их углов, в частности $\angle A = \angle A_1$.

9. Теперь мы имеем, что $\angle A = \angle A_1$ и по условию $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$. По второму признаку подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Теорема доказана.

Ответ: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.