Номер 37, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

37. Что такое центр и апофема правильного многоугольника?

Центр правильного многоугольника

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Одной из ключевых особенностей таких фигур является то, что вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность (проходящую через все его вершины), и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность (касающуюся всех его сторон). Эти две окружности всегда имеют общий центр.

Этот общий центр и называется центром правильного многоугольника. Он представляет собой точку, которая равноудалена от всех вершин многоугольника (это расстояние равно радиусу описанной окружности $R$) и равноудалена от всех его сторон (это расстояние равно радиусу вписанной окружности $r$). Кроме того, центр является точкой пересечения биссектрис внутренних углов, а также точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника.

Ответ: Центр правильного многоугольника — это точка, являющаяся общим центром его вписанной и описанной окружностей.

Апофема правильного многоугольника

Апофема (от древнегреческого ἀπόθεμα — «откладывать») — это отрезок перпендикуляра, опущенного из центра правильного многоугольника на любую из его сторон. Также апофемой называют длину этого отрезка.

Основные свойства апофемы:

1. Апофема соединяет центр многоугольника с серединой его стороны, являясь высотой, медианой и биссектрисой в равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами описанной окружности и стороной многоугольника.

2. Длина апофемы, обозначаемая буквой $a$ (или иногда $h_a$), равна радиусу вписанной в многоугольник окружности: $a = r$.

3. Длину апофемы можно рассчитать через длину стороны $s$ и количество сторон $n$: $a = \frac{s}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$ или в радианах $a = \frac{s}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$.

4. Апофема также связана с радиусом описанной окружности $R$: $a = R \cos(\frac{180^\circ}{n})$ или в радианах $a = R \cos(\frac{\pi}{n})$.

5. Апофема играет важную роль в вычислении площади правильного многоугольника: $S = \frac{1}{2}Pa$, где $P$ — периметр многоугольника.

Ответ: Апофема правильного многоугольника — это перпендикуляр, проведённый из его центра к одной из его сторон; её длина равна радиусу вписанной окружности.