Номер 44, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

44. Что такое пропорциональные отрезки в круге? Какие их свойства вы знаете?

Под пропорциональными отрезками в круге понимают отрезки (хорды, секущие, касательные и их части), длины которых связаны определенными соотношениями (пропорциями). Эти соотношения выводятся из подобия треугольников, которые образуются при построении этих отрезков. Основные свойства касаются пересекающихся хорд, а также секущих и касательных, проведенных из одной точки.

Свойство пересекающихся хорд (Теорема о пересекающихся хордах)

Если две хорды окружности, $AB$ и $CD$, пересекаются в точке $P$, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Это свойство выражается формулой: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Доказательство: Рассмотрим треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$. Углы $\angle PAC$ и $\angle PDC$ равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу $CB$. Углы $\angle APC$ и $\angle DPB$ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники $\triangle APC$ и $\triangle DPB$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB}$. Перемножив крест-накрест, получаем искомое равенство.

Ответ: Произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков другой хорды: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

Свойство двух секущих, проведенных из одной точки (Теорема о двух секущих)

Если из точки $P$, лежащей вне окружности, проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $A$, $B$ и $C$, $D$ соответственно (так, что точка $A$ лежит между $P$ и $B$, а точка $C$ — между $P$ и $D$), то произведение длины одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на ее внешнюю часть.

Это свойство выражается формулой: $PB \cdot PA = PD \cdot PC$

Доказательство: Рассмотрим треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$. Угол $\angle P$ у них общий. Углы $\angle PAD$ и $\angle PCB$ равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу $BD$ (здесь следует быть внимательнее, углы, опирающиеся на дугу $AC$, это $\angle ABC$ и $\angle ADC$. Углы, опирающиеся на дугу $BD$, это $\angle BAD$ и $\angle BCD$). Углы $\angle PBA$ и $\angle PDC$ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу $AC$. Таким образом, треугольники $\triangle PAD$ и $\triangle PCB$ подобны по двум углам ($\angle P$ — общий, $\angle PDA = \angle PBC$). Из подобия следует: $\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$. Перемножив крест-накрест, получаем: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Ответ: Произведение длины секущей на длину её внешней части постоянно для всех секущих, проведённых из данной точки к данной окружности: $PB \cdot PA = PD \cdot PC$.

Свойство касательной и секущей, проведенных из одной точки (Теорема о касательной и секущей)

Если из точки $P$, лежащей вне окружности, проведены касательная, касающаяся окружности в точке $T$, и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (где $A$ между $P$ и $B$), то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Это свойство выражается формулой: $PT^2 = PB \cdot PA$

Доказательство: Рассмотрим треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$. Угол $\angle P$ у них общий. Угол $\angle PTA$ (угол между касательной и хордой $AT$) равен половине дуги $AT$. Вписанный угол $\angle PBA$ (или $\angle TBP$) также равен половине дуги $AT$. Следовательно, $\angle PTA = \angle PBA$. Таким образом, треугольники $\triangle PAT$ и $\triangle PTB$ подобны по двум углам. Из подобия следует: $\frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB}$. Перемножив крест-накрест, получаем: $PT^2 = PA \cdot PB$.

Ответ: Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: $PT^2 = PB \cdot PA$.