Номер 5.1, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.1. Даны $\angle AOB = \alpha$ и $\angle BOC = \beta$ с общей стороной. Чему равен угол между их биссектрисами? Рассмотрите случай смежных углов.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть два основных случая, зависящих от взаимного расположения лучей $OA$ и $OC$ относительно общей стороны $OB$.

Случай 1: Луч OB лежит между лучами OA и OC

В этом случае углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ примыкают друг к другу, а угол $\angle AOC$ является их суммой. Пусть $OD$ — биссектриса угла $\angle AOB = \alpha$, а $OE$ — биссектриса угла $\angle BOC = \beta$. По определению биссектрисы:

$\angle DOB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{\alpha}{2}$

$\angle BOE = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{\beta}{2}$

Угол между биссектрисами $OD$ и $OE$ (угол $\angle DOE$) равен сумме углов $\angle DOB$ и $\angle BOE$, так как луч $OB$ находится между ними.

$\angle DOE = \angle DOB + \angle BOE = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Ответ: $\frac{\alpha + \beta}{2}$.

Случай 2: Один из углов расположен внутри другого

Рассмотрим вариант, когда луч $OC$ находится между лучами $OA$ и $OB$. Это возможно, если $\alpha > \beta$. Угол $\angle AOC$ в этом случае равен разности углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$.

Как и ранее, $OD$ — биссектриса $\angle AOB$, а $OE$ — биссектриса $\angle BOC$. Тогда:

$\angle DOB = \frac{\alpha}{2}$

$\angle BOE = \frac{\beta}{2}$

Поскольку луч $OE$ находится между лучами $OB$ и $OD$, искомый угол $\angle DOE$ будет равен разности $\angle DOB$ и $\angle BOE$.

$\angle DOE = \angle DOB - \angle BOE = \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Если бы было $\beta > \alpha$, угол был бы равен $\frac{\beta - \alpha}{2}$. Таким образом, общая формула для этого случая использует модуль разности.

Ответ: $\frac{|\alpha - \beta|}{2}$.

Рассмотрите случай смежных углов

Смежными называются два угла с общей вершиной и одной общей стороной, две другие стороны которых лежат на одной прямой. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$.

В нашем случае это означает, что $\alpha + \beta = 180^\circ$. Такое расположение углов является частным случаем Случая 1.

Применим формулу для первого случая, чтобы найти угол между биссектрисами:

Угол $= \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Подставим значение суммы $\alpha + \beta$:

Угол $= \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

Таким образом, биссектрисы смежных углов всегда перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$.