Номер 5.6, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.6. Найдите углы между касательными к окружности, проведенными через вершины треугольника, вписанного в данную окружность, если даны углы вписанного треугольника.

Пусть в окружность с центром в точке $O$ вписан треугольник $\triangle ABC$. Обозначим углы этого треугольника в вершинах $A$, $B$ и $C$ как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно ($\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$). Касательные к окружности, проведенные через вершины $A$, $B$ и $C$, пересекаясь, образуют новый треугольник. Найдем углы этого треугольника.

Пусть касательные, проведенные в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $P$. Касательные в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $Q$, а касательные в точках $A$ и $B$ — в точке $R$. Нам нужно найти величины углов $\angle P$, $\angle Q$ и $\angle R$ треугольника $\triangle PQR$.

Рассмотрим угол $\angle P$. Он образован касательными $PB$ и $PC$. Соединим центр окружности $O$ с точками $B$, $C$ и $P$. Рассмотрим четырехугольник $OBPC$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $\angle OBP = 90^\circ$ и $\angle OCP = 90^\circ$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, следовательно: $\angle P + \angle OBP + \angle BOC + \angle OCP = 360^\circ$ $\angle P + 90^\circ + \angle BOC + 90^\circ = 360^\circ$ $\angle P + \angle BOC = 180^\circ$ Отсюда $\angle P = 180^\circ - \angle BOC$.

Величина центрального угла $\angle BOC$ связана с величиной вписанного угла $\angle A = \alpha$, который опирается на ту же дугу $BC$. Здесь возможны два случая в зависимости от величины угла $\alpha$:

1. Угол $\alpha$ — острый ($\alpha < 90^\circ$). В этом случае центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный, вдвое больше его. То есть, $\angle BOC = 2\alpha$. Подставляя это в наше выражение для $\angle P$, получаем: $\angle P = 180^\circ - 2\alpha$.

2. Угол $\alpha$ — тупой ($\alpha > 90^\circ$). В этом случае вписанный угол $\alpha$ опирается на большую дугу $BC$. Соответствующий ей центральный угол (рефлексный) равен $2\alpha$. Угол $\angle BOC$ в четырехугольнике $OBPC$ является меньшим из двух центральных углов и равен $360^\circ - 2\alpha$. Однако, проще рассмотреть вписанный угол, опирающийся на меньшую дугу $BC$. Его величина равна $180^\circ - \alpha$. Тогда центральный угол $\angle BOC$ равен $2(180^\circ - \alpha)$. Подставляя, получаем: $\angle P = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 2(180^\circ - \alpha) = 180^\circ - 360^\circ + 2\alpha = 2\alpha - 180^\circ$.

Заметим, что $2\alpha - 180^\circ = -(180^\circ - 2\alpha)$. Таким образом, оба случая можно объединить одной формулой, используя модуль: $\angle P = |180^\circ - 2\alpha|$.

Аналогичные рассуждения справедливы и для двух других углов, $\angle Q$ и $\angle R$:

$\angle Q$ — угол между касательными в точках $A$ и $C$. Он связан с углом $\beta$ вписанного треугольника: $\angle Q = |180^\circ - 2\beta|$.

$\angle R$ — угол между касательными в точках $A$ и $B$. Он связан с углом $\gamma$ вписанного треугольника: $\angle R = |180^\circ - 2\gamma|$.

В частном случае, если вписанный треугольник прямоугольный, например $\alpha = 90^\circ$, то хорда $BC$ является диаметром. Касательные в точках $B$ и $C$ параллельны, и угол между ними равен $0^\circ$. Наша формула дает тот же результат: $|180^\circ - 2 \cdot 90^\circ| = 0^\circ$.

Ответ: Углы треугольника, образованного касательными, проведенными через вершины вписанного треугольника с углами $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, равны $|180^\circ - 2\alpha|$, $|180^\circ - 2\beta|$ и $|180^\circ - 2\gamma|$. В частности:

• Если вписанный треугольник остроугольный, то углы равны $180^\circ - 2\alpha$, $180^\circ - 2\beta$ и $180^\circ - 2\gamma$.
• Если вписанный треугольник имеет тупой угол, например $\alpha > 90^\circ$, то углы равны $2\alpha - 180^\circ$, $180^\circ - 2\beta$ и $180^\circ - 2\gamma$.