Номер 5.11, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.11. Высота ромба делит его сторону на отрезки, равные $\text{a}$ и $\text{b}$. Найдите диагонали ромба.

Решение:

Пусть дан ромб `ABCD` со стороной `s`. Проведем из вершины `B` высоту `BH` на сторону `AD`. По условию, точка `H` делит сторону `AD` на два отрезка. Примем, что точка `H` лежит между `A` и `D`, и пусть длина отрезка `AH` равна `a`, а длина отрезка `HD` равна `b`. В этом случае сторона ромба `s` будет равна `s = AD = AH + HD = a + b`.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `ABH` (где `∠AHB = 90°`). Катетами являются `AH` и `BH`, а гипотенузой — сторона ромба `AB`. По теореме Пифагора:

`AB² = AH² + BH²`

Подставим известные значения и найдем квадрат высоты `BH`:

`(a + b)² = a² + BH²`

`BH² = (a + b)² - a² = a² + 2ab + b² - a² = 2ab + b²`

Теперь мы можем найти диагонали ромба. Обозначим их `d₁` и `d₂`.

Найдем диагональ `d₁ = BD`. Рассмотрим прямоугольный треугольник `BHD` (где `∠BHD = 90°`). Его катеты — `BH` и `HD`, а гипотенуза — диагональ `BD`. По теореме Пифагора:

`BD² = BH² + HD²`

Подставим значения `BH²` и `HD = b`:

`d₁² = (2ab + b²) + b² = 2ab + 2b² = 2b(a + b)`

Следовательно, первая диагональ равна:

`d₁ = \sqrt{2b(a + b)}`

Для нахождения второй диагонали `d₂ = AC` воспользуемся свойством параллелограмма (и, в частности, ромба), согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон (в случае ромба — учетверенному квадрату стороны):

`d₁² + d₂² = 4s²`

Подставим ранее найденные выражения для `d₁²` и `s`:

`2b(a + b) + d₂² = 4(a + b)²`

Выразим `d₂²`:

`d₂² = 4(a + b)² - 2b(a + b)`

Вынесем за скобки общий множитель `2(a + b)`:

`d₂² = 2(a + b) [2(a + b) - b] = 2(a + b)(2a + 2b - b) = 2(a + b)(2a + b)`

Следовательно, вторая диагональ равна:

`d₂ = \sqrt{2(a + b)(2a + b)}`

Стоит отметить, что если бы мы изначально приняли `AH = b` и `HD = a`, то получили бы симметричные выражения для диагоналей: `d₁ = \sqrt{2a(a + b)}` и `d₂ = \sqrt{2(a + b)(a + 2b)}`. Так как в условии не указано, какой из отрезков (`a` или `b`) прилегает к вершине, то найденные формулы представляют собой одно из двух возможных решений.

Ответ: длины диагоналей ромба равны `\sqrt{2b(a+b)}` и `\sqrt{2(a+b)(2a+b)}` (или `\sqrt{2a(a+b)}` и `\sqrt{2(a+b)(a+2b)}` в зависимости от расположения отрезков).