Номер 5.13, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.13. Разделите треугольник на три части так, чтобы из этих частей можно было составить прямоугольник.

Для того чтобы разделить произвольный треугольник на три части и составить из них прямоугольник, необходимо выполнить следующие построения.

Решение:

1. Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Выберем одну из его сторон в качестве основания, например, сторону $BC$. Проведем к этому основанию высоту $AH$. Обозначим длину высоты как $h$.

2. Найдем середины двух других сторон, $AB$ и $AC$. Обозначим их точками $D$ и $E$ соответственно.

3. Соединим точки $D$ и $E$ отрезком. Отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$. Он параллелен основанию $BC$ и делит высоту $AH$ пополам. Произведем первый разрез по этому отрезку $DE$. В результате треугольник разделится на две фигуры: малый треугольник $ADE$ вверху и трапецию $DBCE$ внизу. Высота трапеции $DBCE$ равна половине высоты исходного треугольника, то есть $h/2$.

4. Проведем второй разрез. Он разделит верхний треугольник $ADE$. Проведем для него высоту из вершины $A$ к его основанию $DE$. Так как $DE \parallel BC$, эта высота будет лежать на отрезке $AH$. Обозначим точку пересечения $AH$ и $DE$ как $P$. Второй разрез — это отрезок $AP$. Он делит треугольник $ADE$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle APD$ (часть 1) и $\triangle APE$ (часть 2).

5. В итоге исходный треугольник $ABC$ разделен на три части:

• Часть 1: треугольник $APD$.
• Часть 2: треугольник $APE$.
• Часть 3: трапеция $DBCE$.

6. Теперь составим из этих трех частей прямоугольник.

• Основой прямоугольника будет служить трапеция $DBCE$ (часть 3). Её высота равна $h/2$.
• Возьмем треугольник $APD$ (часть 1) и повернем его на $180^\circ$ вокруг точки $D$ (середины стороны $AB$). При таком повороте вершина $A$ совместится с вершиной $B$. Треугольник $APD$ заполнит пустое пространство сбоку от стороны $DB$ трапеции.
• Аналогично, возьмем треугольник $APE$ (часть 2) и повернем его на $180^\circ$ вокруг точки $E$ (середины стороны $AC$). Вершина $A$ совместится с вершиной $C$. Треугольник $APE$ заполнит пустое пространство сбоку от стороны $EC$ трапеции.

В результате образуется прямоугольник. Его основание будет равно основанию $BC$ исходного треугольника, а высота будет равна половине высоты исходного треугольника ($h/2$), так как боковые стороны нового прямоугольника образованы повернутыми отрезками высоты $AP$.

Ответ: Нужно провести два разреза: первый — по средней линии, параллельной основанию треугольника, второй — по высоте отсеченного верхнего малого треугольника. Полученные три части (два малых прямоугольных треугольника и трапеция) складываются в прямоугольник.