Номер 5.16, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.16. Постройте квадрат, равновеликий с данным треугольником.

Задача состоит в том, чтобы с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади заданного треугольника. Такой квадрат называется равновеликим данному треугольнику. Решение можно разбить на три части: анализ, построение и доказательство.

Площадь данного треугольника $S_{\triangle}$ с основанием $a$ и высотой $h$ равна $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ah$. Площадь квадрата со стороной $x$ равна $S_{\square} = x^2$. Условие равновеликости фигур означает равенство их площадей: $S_{\square} = S_{\triangle}$.

Отсюда получаем уравнение: $x^2 = \frac{1}{2}ah$. Его можно представить в виде $x^2 = a \cdot (\frac{h}{2})$. Это означает, что сторона искомого квадрата $x$ является средним геометрическим (средним пропорциональным) двух отрезков: основания треугольника $a$ и половины его высоты $\frac{h}{2}$.

Таким образом, задача сводится к последовательному выполнению следующих построений с помощью циркуля и линейки: нахождение высоты треугольника, деление ее пополам, построение среднего геометрического и, наконец, построение квадрата на полученном отрезке.

Пусть дан треугольник $ABC$. Примем сторону $AC$ за основание, длина которого равна $a$.

1. Построим высоту $BH$, опущенную из вершины $B$ на прямую, содержащую основание $AC$. Длина этой высоты равна $h$.

2. Построим середину высоты $BH$. Для этого используется построение серединного перпендикуляра. Обозначим середину точкой $M$. Отрезок $MH$ имеет длину $\frac{h}{2}$.

3. Построим отрезок $x$, являющийся средним геометрическим отрезков с длинами $a$ (длина $AC$) и $\frac{h}{2}$ (длина $MH$).

а) На произвольной прямой отложим последовательно отрезки $DE$ равный $a$ и $EF$ равный $\frac{h}{2}$.

б) На отрезке $DF$ как на диаметре построим полуокружность (для этого сначала найдем его середину $O$).

в) Из точки $E$ восстановим перпендикуляр к прямой $DF$ до пересечения с полуокружностью в точке $G$.

г) Длина отрезка $EG$ и есть искомая длина стороны квадрата, $x = |EG|$.

4. Построим квадрат со стороной, равной отрезку $x$. Например, отложим отрезок $PQ$, равный $x$. Затем в точке $P$ построим перпендикуляр к $PQ$ и отложим на нем отрезок $PS$, равный $x$. Далее завершаем построение квадрата $PQRS$, проводя стороны $SR$ и $QR$.

Построенный отрезок $EG$ является высотой в прямоугольном треугольнике $DGF$ (вписанный угол $DGF$ опирается на диаметр $DF$, следовательно, он прямой). По теореме о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

В нашем случае $EG^2 = DE \cdot EF$.

Так как по построению $DE = a$ и $EF = \frac{h}{2}$, то $x^2 = EG^2 = a \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2}ah$.

Площадь построенного квадрата $S_{\square} = x^2$ равна $\frac{1}{2}ah$, что в точности совпадает с площадью данного треугольника $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ah$.

Следовательно, построенный квадрат равновелик данному треугольнику.

Ответ: Квадрат, построенный по описанному алгоритму, является искомым.