Номер 5.21, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.21. Если $h_1$, $h_2$, $h_3$ - высоты треугольника, а $\text{r}$ - радиус вписанной окружности, то докажите формулу $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}$.

Для доказательства введём обозначения. Пусть $S$ – площадь треугольника, $a, b, c$ – длины его сторон, $h_1, h_2, h_3$ – высоты, проведенные к этим сторонам соответственно, и $r$ – радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника можно выразить через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне. Это даёт нам следующие соотношения:

$S = \frac{1}{2} a h_1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{h_1} = \frac{a}{2S}$

$S = \frac{1}{2} b h_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{h_2} = \frac{b}{2S}$

$S = \frac{1}{2} c h_3 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{h_3} = \frac{c}{2S}$

Просуммируем левые и правые части этих трёх равенств, чтобы получить выражение для суммы обратных высот:

$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a}{2S} + \frac{b}{2S} + \frac{c}{2S} = \frac{a+b+c}{2S}$.

Теперь рассмотрим другую формулу для площади треугольника, которая связывает её с радиусом вписанной окружности $r$ и полупериметром $p = \frac{a+b+c}{2}$:

$S = p \cdot r = \frac{a+b+c}{2} \cdot r$.

Из этой формулы выразим величину, обратную радиусу $r$:

$\frac{1}{r} = \frac{p}{S} = \frac{(a+b+c)/2}{S} = \frac{a+b+c}{2S}$.

Сравнивая полученные выражения для $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3}$ и $\frac{1}{r}$, мы видим, что они идентичны:

$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a+b+c}{2S} = \frac{1}{r}$.

Таким образом, равенство $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}$ доказано.

Ответ: Утверждение доказано.