Номер 5.24, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.24. Вне прямоугольного треугольника построены полукруги так, что стороны треугольника являются диаметрами этих полукругов. Докажите, что площадь большего полукруга равна сумме площадей двух других.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами, длины которых равны $a$ и $b$, и гипотенузой, длина которой равна $c$. Согласно теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника справедливо следующее соотношение между сторонами:

$a^2 + b^2 = c^2$

По условию задачи, на каждой стороне этого треугольника построен полукруг, и сторона является его диаметром.

Площадь круга с радиусом $r$ равна $\pi r^2$. Соответственно, площадь полукруга составляет половину этой величины: $S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2$.

Поскольку стороны треугольника $a$, $b$ и $c$ являются диаметрами полукругов, их радиусы будут равны $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2}$ и $\frac{c}{2}$ соответственно.

Выразим площади трех полукругов через длины сторон треугольника:

• Площадь полукруга на катете $a$: $S_a = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}$
• Площадь полукруга на катете $b$: $S_b = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{b^2}{4} = \frac{\pi b^2}{8}$
• Площадь полукруга на гипотенузе $c$: $S_c = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{c}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{c^2}{4} = \frac{\pi c^2}{8}$

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее каждого из катетов ($c>a$ и $c>b$). Следовательно, полукруг, построенный на гипотенузе, является самым большим. Нам нужно доказать, что его площадь равна сумме площадей двух других полукругов, то есть $S_c = S_a + S_b$.

Найдем сумму площадей полукругов, построенных на катетах:

$S_a + S_b = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8}$

Вынесем общий множитель $\frac{\pi}{8}$ за скобки:

$S_a + S_b = \frac{\pi}{8}(a^2 + b^2)$

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) и подставим $c^2$ в полученное выражение:

$S_a + S_b = \frac{\pi}{8}(c^2) = \frac{\pi c^2}{8}$

Мы видим, что полученное выражение для суммы площадей малых полукругов в точности равно выражению для площади большого полукруга $S_c = \frac{\pi c^2}{8}$.

Таким образом, мы доказали, что $S_c = S_a + S_b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна $\frac{\pi c^2}{8}$. Сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна $\frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi}{8}(a^2 + b^2)$. Так как по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, то $\frac{\pi}{8}(a^2 + b^2) = \frac{\pi c^2}{8}$. Следовательно, площадь большего полукруга равна сумме площадей двух других.