Номер 5.29, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.29. Найдите углы параллелограмма, высоты которого равны $h_1$ и $h_2$, а периметр равен $\text{2p}$.

Пусть стороны параллелограмма равны a и b, а его острый угол равен $\alpha$.

Периметр параллелограмма $P$ определяется как $P = 2(a+b)$. По условию задачи, периметр равен $2p$, следовательно, мы можем записать:

$2(a+b) = 2p$

$a+b = p$

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить двумя способами, используя высоты $h_1$ и $h_2$, проведенные к сторонам $a$ и $b$ соответственно:

$S = a \cdot h_1$

$S = b \cdot h_2$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:

$a \cdot h_1 = b \cdot h_2$

Из этого соотношения выразим сторону $b$ через $a$:

$b = a \cdot \frac{h_1}{h_2}$

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения сторон $a$ и $b$:

$a+b = p$

$b = a \cdot \frac{h_1}{h_2}$

Подставим выражение для $b$ из второго уравнения в первое:

$a + a \cdot \frac{h_1}{h_2} = p$

Вынесем $a$ за скобки:

$a \left(1 + \frac{h_1}{h_2}\right) = p$

$a \left(\frac{h_2 + h_1}{h_2}\right) = p$

Отсюда находим выражение для стороны $a$:

$a = \frac{p \cdot h_2}{h_1 + h_2}$

Высоту $h_2$, проведенную к стороне $b$, можно выразить через сторону $a$ и угол $\alpha$ между сторонами:

$h_2 = a \cdot \sin(\alpha)$

Из этого соотношения мы можем найти синус угла $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{h_2}{a}$

Подставим в эту формулу ранее найденное выражение для стороны $a$:

$\sin(\alpha) = \frac{h_2}{\frac{p \cdot h_2}{h_1 + h_2}} = h_2 \cdot \frac{h_1 + h_2}{p \cdot h_2} = \frac{h_1 + h_2}{p}$

Таким образом, один из углов параллелограмма (острый) равен $\alpha = \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$.

Так как сумма соседних углов в параллелограмме равна $180^\circ$, второй угол (тупой) будет равен $180^\circ - \alpha$.

Ответ: углы параллелограмма равны $\arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$ и $180^\circ - \arcsin\left(\frac{h_1 + h_2}{p}\right)$.