Номер 5.25, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.25. Найдите площадь ромба с периметром $\text{2p}$, если сумма диагоналей равна $\text{m}$.

Пусть сторона ромба равна a, а его диагонали равны d₁ и d₂.

Периметр ромба P равен учетверенной длине его стороны: $P = 4a$. По условию, периметр равен $2p$. Следовательно, $4a = 2p$, откуда находим сторону ромба: $a = \frac{2p}{4} = \frac{p}{2}$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Гипотенузой каждого такого треугольника является сторона ромба a, а катетами — половины диагоналей, то есть $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Согласно теореме Пифагора, для одного из этих треугольников справедливо равенство: $(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Упростим это выражение и подставим в него найденное ранее значение стороны $a = \frac{p}{2}$: $\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = a^2$ $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$ $d_1^2 + d_2^2 = 4 (\frac{p}{2})^2 = 4 \frac{p^2}{4} = p^2$

По условию задачи, сумма диагоналей равна m: $d_1 + d_2 = m$. Возведем обе части этого уравнения в квадрат, чтобы связать его с полученным выше выражением: $(d_1 + d_2)^2 = m^2$ $d_1^2 + 2d_1d_2 + d_2^2 = m^2$

В полученном уравнении заменим сумму квадратов диагоналей $(d_1^2 + d_2^2)$ на $p^2$: $p^2 + 2d_1d_2 = m^2$

Теперь выразим произведение диагоналей $d_1d_2$, которое необходимо для вычисления площади: $2d_1d_2 = m^2 - p^2$ $d_1d_2 = \frac{m^2 - p^2}{2}$

Площадь ромба S вычисляется как половина произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Подставим найденное выражение для $d_1d_2$: $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{m^2 - p^2}{2} = \frac{m^2 - p^2}{4}$

Ответ: $\frac{m^2 - p^2}{4}$