Номер 5.22, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.22. По заданным сторонам $a, b, c$ треугольника найдите высоту $h_a$ и площадь треугольника.

Нахождение площади треугольника

Для вычисления площади треугольника по трем заданным сторонам $a$, $b$ и $c$ применяется формула Герона. Процесс вычисления состоит из двух шагов.

1. Сначала необходимо найти полупериметр треугольника, который обозначается буквой $p$. Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон.

$p = \frac{a + b + c}{2}$

2. Затем, используя значение полупериметра, можно вычислить площадь треугольника $S$ по следующей формуле:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Эта формула является универсальной для нахождения площади любого треугольника, если известны длины всех его сторон.

Ответ: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a + b + c}{2}$.

Нахождение высоты $h_a$

Высота $h_a$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины, противоположной стороне $a$, на саму сторону $a$ (или ее продолжение). Для нахождения этой высоты можно использовать известную формулу площади треугольника, которая связывает площадь с основанием и высотой.

Формула площади через основание $a$ и высоту $h_a$ выглядит так:

$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

Из этой формулы можно выразить высоту $h_a$:

$h_a = \frac{2S}{a}$

Так как мы уже получили выражение для площади $S$ через стороны треугольника (формула Герона), мы можем подставить его в формулу для высоты. Это даст нам возможность вычислить $h_a$, зная только длины сторон $a$, $b$ и $c$.

$h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

В этой формуле $p$ является полупериметром треугольника, который вычисляется так же, как и в предыдущем пункте: $p = \frac{a + b + c}{2}$.

Ответ: $h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a + b + c}{2}$.