Номер 5.26, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.26. Две стороны треугольника равны $\text{a}$ и $\text{b}$, а его площадь $S = \frac{3}{10}ab$. Найдите третью сторону треугольника.

Пусть две данные стороны треугольника равны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\gamma$. Площадь треугольника $S$ может быть вычислена по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$.

Согласно условию задачи, площадь равна $S = \frac{3}{10}ab$. Приравняем два выражения для площади, чтобы найти синус угла $\gamma$: $\frac{1}{2}ab \sin(\gamma) = \frac{3}{10}ab$. Разделив обе части на $ab$ (так как $a$ и $b$ - длины сторон, они не равны нулю) и умножив на 2, получим: $\sin(\gamma) = \frac{3}{10} \cdot 2 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Теперь найдем косинус угла $\gamma$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$. $\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Отсюда $\cos(\gamma)$ может иметь два значения: $\cos(\gamma) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ или $\cos(\gamma) = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$. Это означает, что угол $\gamma$ может быть как острым (косинус положительный), так и тупым (косинус отрицательный).

Чтобы найти длину третьей стороны, которую обозначим как $c$, воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$. Рассмотрим оба возможных случая.

1. Если угол $\gamma$ острый, то $\cos(\gamma) = \frac{4}{5}$. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(\frac{4}{5}\right) = a^2 + b^2 - \frac{8}{5}ab$. Длина третьей стороны в этом случае: $c_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - \frac{8}{5}ab}$.

2. Если угол $\gamma$ тупой, то $\cos(\gamma) = -\frac{4}{5}$. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(-\frac{4}{5}\right) = a^2 + b^2 + \frac{8}{5}ab$. Длина третьей стороны в этом случае: $c_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + \frac{8}{5}ab}$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения для длины третьей стороны.

Ответ: $\sqrt{a^2 + b^2 - \frac{8}{5}ab}$ или $\sqrt{a^2 + b^2 + \frac{8}{5}ab}$.