Номер 5.23, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.23. Докажите, что диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны.

Данное утверждение является критерием, то есть требует доказательства в обе стороны («тогда и только тогда»).

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

1. Прямое доказательство (⇒). Если диагонали перпендикулярны, то суммы квадратов противоположных сторон равны.

Предположим, что диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны ($AC \perp BD$). Это значит, что все четыре угла при их пересечении в точке $O$ прямые. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ разделен на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$.

Для каждого из этих треугольников применим теорему Пифагора:

• В $\triangle AOB$: $AB^2 = AO^2 + BO^2$
• В $\triangle BOC$: $BC^2 = BO^2 + CO^2$
• В $\triangle COD$: $CD^2 = CO^2 + DO^2$
• В $\triangle DOA$: $DA^2 = DO^2 + AO^2$

Теперь составим суммы квадратов противоположных сторон:

$AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2)$

$BC^2 + DA^2 = (BO^2 + CO^2) + (DO^2 + AO^2)$

Сравнивая правые части этих двух равенств, мы видим, что они состоят из одних и тех же слагаемых ($AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$). Следовательно, эти суммы равны:

$AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$.

Первая часть доказана.

2. Обратное доказательство (⇐). Если суммы квадратов противоположных сторон равны, то диагонали перпендикулярны.

Теперь предположим, что в четырехугольнике $ABCD$ выполняется равенство $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$.

Пусть угол между отрезками диагоналей $\angle AOB = \alpha$. Тогда, как вертикальный ему, $\angle COD = \alpha$. Смежные с ними углы будут равны $180^\circ - \alpha$, то есть $\angle BOC = \angle DOA = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов к каждому из четырех треугольников, образованных диагоналями:

• $AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\alpha)$
• $BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = BO^2 + CO^2 + 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\alpha)$
• $CD^2 = CO^2 + DO^2 - 2 \cdot CO \cdot DO \cdot \cos(\alpha)$
• $DA^2 = DO^2 + AO^2 - 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = DO^2 + AO^2 + 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos(\alpha)$

Подставим эти выражения в исходное равенство $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$:

$(AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\alpha)) + (CO^2 + DO^2 - 2 \cdot CO \cdot DO \cdot \cos(\alpha)) = (BO^2 + CO^2 + 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\alpha)) + (DO^2 + AO^2 + 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos(\alpha))$

Все слагаемые с квадратами длин отрезков ($AO^2, BO^2$ и т.д.) присутствуют в обеих частях и взаимно уничтожаются.

Остается:

$-2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\alpha) - 2 \cdot CO \cdot DO \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\alpha) + 2 \cdot DO \cdot AO \cdot \cos(\alpha)$

Перенесем все в левую часть и разделим на $-2$:

$AO \cdot BO \cdot \cos(\alpha) + CO \cdot DO \cdot \cos(\alpha) + BO \cdot CO \cdot \cos(\alpha) + DO \cdot AO \cdot \cos(\alpha) = 0$

Вынесем общий множитель $\cos(\alpha)$ за скобки:

$\cos(\alpha) \cdot (AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO + DO \cdot AO) = 0$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$\cos(\alpha) \cdot [BO \cdot (AO + CO) + DO \cdot (CO + AO)] = 0$

$\cos(\alpha) \cdot [(AO + CO) \cdot (BO + DO)] = 0$

Так как $AO+CO = AC$ и $BO+DO = BD$ — это длины диагоналей, то равенство принимает вид:

$\cos(\alpha) \cdot AC \cdot BD = 0$

Длины диагоналей $AC$ и $BD$ в невырожденном четырехугольнике являются положительными числами ($AC > 0, BD > 0$). Следовательно, чтобы произведение равнялось нулю, необходимо, чтобы $\cos(\alpha) = 0$.

Если $\cos(\alpha) = 0$, то угол $\alpha = 90^\circ$.

Это означает, что диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Вторая часть доказана.

Так как доказаны обе части утверждения, теорема доказана полностью.

Ответ: Утверждение доказано.