Номер 5.18, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.18. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, а медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3 см. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC = 4$ см, а $BC$ — основание. Пусть $BM$ — медиана, проведенная к боковой стороне $AC$. По условию задачи, длина медианы $BM = 3$ см.

Поскольку $BM$ является медианой, точка $M$ делит сторону $AC$ пополам. Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины стороны $AC$:

$AM = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем известны длины всех трех сторон: $AB = 4$ см, $AM = 2$ см и $BM = 3$ см. Мы можем применить теорему косинусов для этого треугольника, чтобы найти косинус угла при вершине $\angle BAC$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Теорема косинусов для треугольника $ABM$ относительно стороны $BM$ выглядит так:

$BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу:

$3^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos(\alpha)$

$9 = 16 + 4 - 16 \cdot \cos(\alpha)$

$9 = 20 - 16 \cdot \cos(\alpha)$

Из этого уравнения выразим $\cos(\alpha)$:

$16 \cdot \cos(\alpha) = 20 - 9$

$16 \cdot \cos(\alpha) = 11$

$\cos(\alpha) = \frac{11}{16}$

Теперь вернемся к исходному треугольнику $ABC$. Мы знаем длины двух боковых сторон ($AB = 4$ см, $AC = 4$ см) и косинус угла между ними ($\cos(\alpha) = \frac{11}{16}$). Этой информации достаточно, чтобы найти длину основания $BC$ с помощью теоремы косинусов.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$ относительно стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения:

$BC^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{11}{16}$

$BC^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \frac{11}{16}$

$BC^2 = 32 - 2 \cdot 11$

$BC^2 = 32 - 22$

$BC^2 = 10$

Чтобы найти длину основания $BC$, извлечем квадратный корень:

$BC = \sqrt{10}$ см.

Ответ: $\sqrt{10}$ см.