Номер 5.14, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.14. Трапеция своими диагоналями делится на 4 треугольника. Докажите, что треугольники, основаниями которых служат боковые стороны трапеции, равновеликие.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В результате пересечения диагоналей трапеция делится на четыре треугольника: $ΔAOB$, $ΔBOC$, $ΔCOD$ и $ΔAOD$. Нам необходимо доказать, что треугольники, основаниями которых служат боковые стороны ($ΔAOB$ и $ΔCOD$), равновеликие, то есть имеют равные площади.

1. Рассмотрим треугольники $ΔABD$ и $ΔACD$.

2. Эти треугольники имеют общее основание $AD$.

3. Высоты этих треугольников, проведенные из вершин $B$ и $C$ к основанию $AD$ (или его продолжению), равны между собой. Это следует из определения трапеции, так как расстояние между двумя параллельными прямыми ($BC$ и $AD$) постоянно. Обозначим эту высоту как $h$.

4. Площадь треугольника $ΔABD$ равна $S_{ΔABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$.

5. Площадь треугольника $ΔACD$ также равна $S_{ΔACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$.

6. Следовательно, площади этих треугольников равны: $S_{ΔABD} = S_{ΔACD}$.

7. Теперь рассмотрим площади этих же треугольников как сумму площадей составляющих их меньших треугольников:

$S_{ΔABD} = S_{ΔAOB} + S_{ΔAOD}$

$S_{ΔACD} = S_{ΔCOD} + S_{ΔAOD}$

8. Так как $S_{ΔABD} = S_{ΔACD}$, мы можем приравнять правые части этих равенств:

$S_{ΔAOB} + S_{ΔAOD} = S_{ΔCOD} + S_{ΔAOD}$

9. Вычтем из обеих частей этого равенства площадь общего для них треугольника $ΔAOD$:

$S_{ΔAOB} = S_{ΔCOD}$

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников, прилегающих к боковым сторонам трапеции, равны. То есть, эти треугольники равновеликие, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники, основаниями которых служат боковые стороны трапеции, равновеликие.