Номер 5.9, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.9. Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона равны 4 см. Найдите среднюю линию трапеции, если ее высота равна 2 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD с основаниями AB и DC, и прямыми углами при вершинах A и D. Таким образом, AD является высотой трапеции.

Из условия задачи имеем: высота $AD = 2$ см, наклонная боковая сторона $BC = 4$ см. Также сказано, что одна из диагоналей равна 4 см. В трапеции две диагонали: AC и BD. Проверим оба варианта:

1) Если диагональ $AC = 4$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC ($∠D=90°$). По теореме Пифагора найдем основание DC: $DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. Проведем высоту BH из вершины B на основание DC. В прямоугольном треугольнике BHC ($∠H=90°$) с катетом $BH=AD=2$ см и гипотенузой $BC=4$ см, катет $HC = \sqrt{BC^2 - BH^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. Так как $DC=HC$, это означает, что точка H совпадает с D, и верхнее основание AB равно 0. В этом случае трапеция вырождается в треугольник. Обычно в таких задачах подразумевается невырожденный случай.

2) Следовательно, в условии имеется в виду диагональ $BD = 4$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD ($∠A=90°$). По теореме Пифагора найдем меньшее (верхнее) основание AB: $AB = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем большее (нижнее) основание DC. Проведем высоту BH из вершины B на основание DC. Четырехугольник ABHD — прямоугольник, поэтому $DH = AB = 2\sqrt{3}$ см и $BH = AD = 2$ см. В прямоугольном треугольнике BHC ($∠H=90°$) найдем катет HC, как и в первом случае: $HC = \sqrt{BC^2 - BH^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Полная длина нижнего основания DC равна сумме отрезков DH и HC: $DC = DH + HC = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Средняя линия трапеции $m$ равна полусумме ее оснований. Вычислим ее:

$m = \frac{AB + DC}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.