Номер 5.5, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.5. Найдите расстояние между серединами диагоналей трапеции по основаниям $\text{a}$ и $\text{b}$.

5.5. Для решения этой задачи можно использовать несколько методов. Рассмотрим наиболее наглядный, основанный на свойствах средней линии треугольника.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть длины оснований равны $AD = a$ и $BC = b$. Для определенности, предположим, что $a > b$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$, а $N$ — середина диагонали $BD$. Нам необходимо найти длину отрезка $MN$.

Возьмем точку $K$ — середину боковой стороны $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, отрезок $KN$ параллелен основанию $AD$ и его длина равна: $KN = \frac{1}{2} AD = \frac{a}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По тому же свойству, отрезок $KM$ параллелен основанию $BC$ и его длина равна: $KM = \frac{1}{2} BC = \frac{b}{2}$.

Поскольку основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а отрезки $KN$ и $KM$ параллельны этим основаниям ($KN \parallel AD$ и $KM \parallel BC$), то отрезки $KN$ и $KM$ лежат на одной прямой. Эта прямая проходит через точку $K$ и параллельна основаниям. Это означает, что точки $K$, $M$ и $N$ коллинеарны (лежат на одной прямой).

Так как мы предположили, что $a > b$, то $KN > KM$. Точка $M$ лежит на отрезке $KN$. Искомое расстояние $MN$ можно найти как разность длин отрезков $KN$ и $KM$: $MN = KN - KM = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a-b}{2}$.

Если бы мы изначально предположили, что $b>a$, результат был бы $\frac{b-a}{2}$. В общем виде, поскольку расстояние не может быть отрицательным, формула для расстояния между серединами диагоналей записывается с использованием модуля.

Ответ: $\frac{|a-b|}{2}$.