Номер 5.7, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.7. При каких условиях центр описанной около треугольника окружности расположен внутри, на стороне, вне этого треугольника?

Положение центра описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника) напрямую зависит от вида углов этого треугольника.

Внутри

Центр описанной окружности расположен внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является остроугольным. В остроугольном треугольнике все углы меньше $90^\circ$. Для любой стороны, например $AB$, противолежащий угол $\angle C$ будет острым. Геометрически это означает, что центр окружности $O$ и вершина $C$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Так как это условие выполняется для всех трёх сторон, центр $O$ оказывается внутри треугольника.

Ответ: Центр описанной окружности расположен внутри треугольника, если треугольник является остроугольным (все его углы меньше $90^\circ$).

На стороне

Центр описанной окружности расположен на стороне треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике один из углов равен $90^\circ$. Вписанный угол, равный $90^\circ$, всегда опирается на диаметр. Следовательно, сторона, противолежащая прямому углу (гипотенуза), является диаметром описанной окружности. Центр окружности, как середина диаметра, будет лежать на середине гипотенузы.

Ответ: Центр описанной окружности расположен на стороне треугольника, если треугольник является прямоугольным (один из его углов равен $90^\circ$). Центр лежит на середине гипотенузы.

Вне

Центр описанной окружности расположен вне треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является тупоугольным. В тупоугольном треугольнике один из углов больше $90^\circ$. Если, например, угол $\angle C$ тупой, то вершина $C$ лежит на меньшей из двух дуг, стягиваемых хордой $AB$. Центр окружности $O$ всегда находится в той же полуплоскости относительно хорды, что и большая дуга. Таким образом, точки $O$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $AB$, а это означает, что центр $O$ находится вне треугольника.

Ответ: Центр описанной окружности расположен вне треугольника, если треугольник является тупоугольным (один из его углов больше $90^\circ$).