Номер 5.8, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.8. В треугольнике $ABC$ дано: $BC=a$, а точки $\text{D}$ и $\text{E}$ делят стороны $\text{AB}$ и $\text{AC}$ в отношении $m : n$. Найдите $\text{BE}$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ сторона $BC = a$. Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Утверждение, что точки $D$ и $E$ делят стороны $AB$ и $AC$ в отношении $m:n$, как правило, означает, что отношение отрезков, считая от общей вершины $A$, равно $m:n$. То есть, $AD:DB = m:n$ и $AE:EC = m:n$.

Рассмотрим соотношения сторон. Для стороны $AB$ имеем $AB = AD + DB$. Так как $AD:DB = m:n$, мы можем записать $AD = k \cdot m$ и $DB = k \cdot n$ для некоторого положительного коэффициента $k$. Тогда вся сторона $AB = km + kn = k(m+n)$. Найдем отношение длины отрезка $AD$ к длине всей стороны $AB$: $\frac{AD}{AB} = \frac{km}{k(m+n)} = \frac{m}{m+n}$.

Аналогично для стороны $AC$: $AC = AE + EC$. Так как $AE:EC = m:n$, мы можем записать $AE = l \cdot m$ и $EC = l \cdot n$ для некоторого положительного коэффициента $l$. Тогда вся сторона $AC = lm + ln = l(m+n)$. Найдем отношение длины отрезка $AE$ к длине всей стороны $AC$: $\frac{AE}{AC} = \frac{lm}{l(m+n)} = \frac{m}{m+n}$.

Теперь рассмотрим треугольники $ADE$ и $ABC$. У этих треугольников есть общий угол: $\angle DAE = \angle BAC$. Стороны, образующие этот угол, в обоих треугольниках пропорциональны, так как мы показали, что: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{m}{m+n}$.

Согласно второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$. Из подобия треугольников следует, что отношение всех их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия $k_{sim}$ равен $\frac{m}{m+n}$. Следовательно, отношение третьих сторон $DE$ и $BC$ также равно этому коэффициенту: $\frac{DE}{BC} = k_{sim} = \frac{m}{m+n}$.

Мы знаем, что $BC = a$. Подставим это значение в полученное равенство: $\frac{DE}{a} = \frac{m}{m+n}$. Выразим отсюда искомую длину $DE$: $DE = a \cdot \frac{m}{m+n} = \frac{am}{m+n}$.

Ответ: $DE = \frac{am}{m+n}$.