Номер 5.15, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.15. Найдите длину общей касательной окружностей радиуса-ми $\text{r}$ и $\text{R}$, касающихся друг друга внешним образом.

5.15. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух окружностей, а $r$ и $R$ — их радиусы соответственно. Поскольку окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r + R$.

Пусть $AB$ — общая внешняя касательная к этим окружностям, где $A$ — точка касания на первой окружности (с радиусом $r$), а $B$ — точка касания на второй (с радиусом $R$). Длина, которую нам нужно найти, это длина отрезка $AB$.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Следовательно, отрезки $O_1A$ и $O_2B$ параллельны друг другу, и фигура $ABO_2O_1$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A = r$ и $O_2B = R$.

Проведем из центра $O_1$ отрезок $O_1C$, параллельный касательной $AB$, до пересечения с радиусом $O_2B$ в точке $C$. Для определенности будем считать, что $R \ge r$.

Фигура $ABCO_1$ является прямоугольником, так как по построению $O_1C \parallel AB$ и по свойству касательной $O_1A \perp AB$, $O_2B \perp AB$, из чего следует $O_1A \parallel O_2B$. Значит, $AB = O_1C$ и $CB = O_1A = r$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1CO_2$. Он является прямоугольным, так как $O_1C \perp O_2B$ (поскольку $O_1C \parallel AB$ и $AB \perp O_2B$). Длины его сторон: катет $O_1C$ равен искомой длине $AB$; второй катет $O_2C$ равен разности радиусов $O_2B - CB = R - r$; гипотенуза $O_1O_2$ равна сумме радиусов $R + r$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle O_1CO_2$: $(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (O_2C)^2$

Подставим известные значения в уравнение: $(R + r)^2 = (AB)^2 + (R - r)^2$

Выразим из этого уравнения квадрат искомой длины $(AB)^2$: $(AB)^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(AB)^2 = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2)$ $(AB)^2 = R^2 + 2Rr + r^2 - R^2 + 2Rr - r^2$ $(AB)^2 = 4Rr$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем искомую длину общей касательной: $AB = \sqrt{4Rr} = 2\sqrt{Rr}$

Ответ: $2\sqrt{Rr}$