Номер 5.17, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.17. В правильный шестиугольник со стороной $10\sqrt{3}$ см вписан круг. Найдите сторону квадрата, вписанного в этот круг.

Решение задачи можно разделить на два основных этапа: сначала найдем радиус круга, вписанного в правильный шестиугольник, а затем, используя этот радиус, найдем сторону квадрата, вписанного в этот круг.

Сторона правильного шестиугольника по условию задачи равна $a_6 = 10\sqrt{3}$ см. Радиус $r$ круга, вписанного в правильный шестиугольник, равен его апофеме. Апофема правильного шестиугольника, в свою очередь, является высотой одного из шести равносторонних треугольников, на которые можно разделить шестиугольник. Сторона такого треугольника равна стороне шестиугольника.

Формула для радиуса круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной $a_6$, имеет вид: $r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2}$

Подставим в эту формулу известное значение стороны шестиугольника: $r = \frac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см. Таким образом, радиус вписанного круга составляет 15 см.

Теперь найдем сторону квадрата, вписанного в этот круг. Диагональ $d$ квадрата, вписанного в круг, равна диаметру $D$ этого круга. Диаметр круга равен удвоенному радиусу: $D = 2r = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Следовательно, диагональ квадрата $d = 30$ см. Сторона квадрата $b_4$ связана с его диагональю $d$ по теореме Пифагора соотношением $d^2 = b_4^2 + b_4^2 = 2b_4^2$, откуда следует $d = b_4\sqrt{2}$. Выразим сторону квадрата $b_4$: $b_4 = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Подставим значение диагонали: $b_4 = \frac{30}{\sqrt{2}}$ Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $b_4 = \frac{30 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$ см.

Ответ: $15\sqrt{2}$ см.