Номер 5.20, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.20. Если $a, b, c$ — стороны треугольника, а $\text{R}$ — радиус описанной окружности, то докажите формулу $S = \frac{abc}{4R}$.

Для доказательства данной формулы воспользуемся двумя известными положениями из геометрии: формулой площади треугольника через синус угла и обобщенной теоремой синусов.

1. Площадь любого треугольника можно найти как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними. Пусть нам даны стороны a и b, а угол между ними равен $\gamma$. Тогда площадь треугольника S вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

2. Обобщенная теорема синусов утверждает, что отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны между собой и равны двум радиусам описанной окружности (2R):

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R$

Из этой теоремы мы можем выразить синус угла $\gamma$. Рассмотрим часть равенства, относящуюся к стороне c и углу $\gamma$:

$\frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R$

Выразим отсюда $\sin(\gamma)$:

$\sin(\gamma) = \frac{c}{2R}$

3. Теперь подставим полученное выражение для $\sin(\gamma)$ в формулу площади треугольника из пункта 1:

$S = \frac{1}{2}ab \cdot \left(\frac{c}{2R}\right)$

Перемножив дроби, получаем:

$S = \frac{abc}{2 \cdot 2R} = \frac{abc}{4R}$

Таким образом, формула $S = \frac{abc}{4R}$ доказана.

Ответ: Требуемая формула доказана путем подстановки выражения для синуса угла из обобщенной теоремы синусов в формулу площади треугольника.