Номер 5.27, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.27. Высота треугольника, равная 4 см, делит его основание в отношении 1:8. Найдите длину отрезка, параллельного этой высоте и делящего этот треугольник на равновеликие части.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ к основанию $AC$. По условию задачи, $BH = 4$ см, и основание высоты $H$ делит сторону $AC$ в отношении $AH : HC = 1 : 8$.

Площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$) складывается из площадей треугольников $ABH$ и $BHC$. Отношение площадей этих треугольников, имеющих одинаковую высоту $BH$, равно отношению длин их оснований $AH$ и $HC$:

$\frac{S_{ABH}}{S_{BHC}} = \frac{\frac{1}{2} AH \cdot BH}{\frac{1}{2} HC \cdot BH} = \frac{AH}{HC} = \frac{1}{8}$

Таким образом, $S_{BHC} = 8 S_{ABH}$, а общая площадь $S_{ABC} = S_{ABH} + S_{BHC} = S_{ABH} + 8 S_{ABH} = 9 S_{ABH}$. Отсюда получаем, что $S_{ABH} = \frac{1}{9} S_{ABC}$ и $S_{BHC} = \frac{8}{9} S_{ABC}$.

Рассмотрим отрезок $MN$ длиной $l$, который параллелен высоте $BH$ и делит треугольник $ABC$ на две равновеликие части (части с равной площадью), то есть на две фигуры площадью $\frac{1}{2}S_{ABC}$ каждая. Поскольку $BH \perp AC$, то и $MN \perp AC$. Это означает, что отрезок $MN$ расположен либо в треугольнике $ABH$, либо в треугольнике $BHC$.

Предположим, что отрезок $MN$ находится внутри меньшего треугольника $ABH$ (с концами на сторонах $AB$ и $AH$). Он отсекает треугольник $AMN$, площадь которого должна быть равна $\frac{1}{2}S_{ABC}$. Треугольники $AMN$ и $ABH$ подобны, так как $MN \parallel BH$. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия $k = \frac{l}{BH}$: $\frac{S_{AMN}}{S_{ABH}} = k^2$. Подставив $S_{AMN} = \frac{1}{2}S_{ABC}$ и $S_{ABH} = \frac{1}{9}S_{ABC}$, получим $\frac{\frac{1}{2}S_{ABC}}{\frac{1}{9}S_{ABC}} = k^2$, что приводит к $k^2 = \frac{9}{2}$. Коэффициент подобия $k = \frac{3}{\sqrt{2}} > 1$. Это невозможно, так как отсекаемый треугольник $AMN$ является частью треугольника $ABH$ и не может быть больше него. Значит, отрезок $MN$ не может находиться в треугольнике $ABH$.

Следовательно, отрезок $MN$ находится внутри большего треугольника $BHC$ (с концами на сторонах $BC$ и $HC$). Он отсекает от угла $C$ треугольник $MNC$. Эта фигура является одной из двух равновеликих частей, на которые делится исходный треугольник, поэтому $S_{MNC} = \frac{1}{2}S_{ABC}$. Треугольники $MNC$ и $BHC$ подобны ($MN \parallel BH$). Пусть их коэффициент подобия $k' = \frac{l}{BH}$. Отношение их площадей равно $\frac{S_{MNC}}{S_{BHC}} = (k')^2$. Подставим известные соотношения площадей:

$\frac{\frac{1}{2}S_{ABC}}{\frac{8}{9}S_{ABC}} = (k')^2$

Отсюда $(k')^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{8} = \frac{9}{16}$.

Находим положительное значение коэффициента подобия: $k' = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$. Длина искомого отрезка $l$ связана с высотой $BH$ через этот коэффициент: $l = k' \cdot BH$. Подставляя известные значения, получаем:

$l = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$ см.

Ответ: 3 см.