Номер 5.32, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.32. Высота равнобокой трапеции равна $\text{h}$, а острый угол между ее диагоналями равен $2\phi$. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD$ и $BC$ параллельны), и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Высота трапеции равна $h$, а средняя линия $m = \frac{AD+BC}{2}$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC=BD$), а треугольники, образованные пересечением диагоналей и примыкающие к основаниям, являются равнобедренными. То есть, $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ — равнобедренные, с $OA=OD$ и $OB=OC$. Углы при их вершине $O$ вертикальны, поэтому $\angle AOD = \angle BOC$. Углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ являются смежными, поэтому $\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ$.

Острый угол между диагоналями по условию равен $2\phi$. Этот угол может быть либо $\angle AOD$, либо $\angle AOB$.

Для нахождения средней линии воспользуемся методом, связывающим её с высотой и углом между диагоналями. Проведём высоты треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ из точки $O$ к основаниям $AD$ и $BC$ соответственно. Пусть $OK_2$ — высота $\triangle AOD$ и $OK_1$ — высота $\triangle BOC$.

Тогда $OK_1 + OK_2 = h$.

В равнобедренном треугольнике $\triangle AOD$ высота $OK_2$ является медианой и биссектрисой. Следовательно, $K_2$ — середина $AD$, и $DK_2 = \frac{AD}{2}$. Также, $\angle K_2OD = \frac{1}{2}\angle AOD$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OK_2D$ имеем:

$ \tan(\angle K_2OD) = \frac{DK_2}{OK_2} = \frac{AD/2}{OK_2} $

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$ высота $OK_1$ является биссектрисой, и $\angle K_1OC = \frac{1}{2}\angle BOC$. Так как $\angle BOC = \angle AOD$, то $\angle K_1OC = \frac{1}{2}\angle AOD$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OK_1C$ имеем:

$ \tan(\angle K_1OC) = \frac{CK_1}{OK_1} = \frac{BC/2}{OK_1} $

Приравнивая тангенсы равных углов, получаем:

$ \frac{AD/2}{OK_2} = \frac{BC/2}{OK_1} \implies AD \cdot OK_1 = BC \cdot OK_2 $

Используя $OK_2 = h - OK_1$, подставляем в это равенство:

$ AD \cdot OK_1 = BC \cdot (h - OK_1) = BC \cdot h - BC \cdot OK_1 $

$ (AD + BC) \cdot OK_1 = BC \cdot h $

$ OK_1 = \frac{BC \cdot h}{AD+BC} $

Теперь вернёмся к выражению для тангенса:

$ \tan\left(\frac{\angle AOD}{2}\right) = \frac{BC/2}{OK_1} = \frac{BC/2}{\frac{BC \cdot h}{AD+BC}} = \frac{BC}{2} \cdot \frac{AD+BC}{BC \cdot h} = \frac{AD+BC}{2h} $

Так как средняя линия $m = \frac{AD+BC}{2}$, мы получили ключевое соотношение:

$ \tan\left(\frac{\angle AOD}{2}\right) = \frac{m}{h} $

Теперь необходимо определить, какой из углов, $\angle AOD$ или $\angle AOB$, является острым и равен $2\phi$. Это зависит от соотношения сторон трапеции. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Угол $\angle AOD$ является острым. Тогда $\angle AOD = 2\phi$. Подставляем в наше соотношение: $ \tan\left(\frac{2\phi}{2}\right) = \frac{m}{h} \implies \tan\phi = \frac{m}{h} $ Отсюда $m = h \tan\phi$. Этот случай соответствует "высокой и узкой" трапеции, где $h > m$.

Случай 2: Угол $\angle AOD$ является тупым. Тогда острым углом является смежный с ним угол $\angle AOB = 2\phi$. В этом случае $\angle AOD = 180^\circ - 2\phi$. Подставляем в наше соотношение: $ \tan\left(\frac{180^\circ - 2\phi}{2}\right) = \frac{m}{h} $ $ \tan(90^\circ - \phi) = \frac{m}{h} $ $ \cot\phi = \frac{m}{h} $ Отсюда $m = h \cot\phi$. Этот случай соответствует "широкой и низкой" трапеции, где $h < m$.

Поскольку в условии задачи не указано соотношение между высотой и средней линией, а требуется найти единственное значение, часто в таких задачах по умолчанию рассматривается один из случаев, либо имеется в виду геометрическая конфигурация, которая встречается чаще. В данном контексте, без дополнительных уточнений, принято давать ответ, соответствующий случаю, когда угол между диагоналями, прилежащий к боковым сторонам ($\angle AOB$), является острым. Это приводит ко второму варианту решения.

Итак, принимаем, что острый угол $2\phi$ — это $\angle AOB$. Тогда $\angle AOD = 180^\circ - 2\phi$.

$ \tan\left(\frac{180^\circ - 2\phi}{2}\right) = \frac{m}{h} $

$ \cot\phi = \frac{m}{h} $

$ m = h \cot\phi $

Ответ: $h \cot\phi$