Номер 5.36, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.36. Найдите угол между диагоналями четырехугольника с вершинами в точках $A(-5; 2\sqrt{3})$, $B(-4; 2)$, $C(-2; \sqrt{3})$, $D(0; 2)$.

Для нахождения угла между диагоналями четырехугольника ABCD необходимо сначала определить векторы, соответствующие этим диагоналям. Диагоналями четырехугольника являются отрезки AC и BD. Угол между диагоналями будет равен углу между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

Координаты вершин четырехугольника: $A(-5; 2\sqrt{3})$, $B(-4; 2)$, $C(-2; \sqrt{3})$, $D(0; 2)$.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{AC}$: $\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A\} = \{-2 - (-5); \sqrt{3} - 2\sqrt{3}\} = \{3; -\sqrt{3}\}$.

Для вектора $\vec{BD}$: $\vec{BD} = \{x_D - x_B; y_D - y_B\} = \{0 - (-4); 2 - 2\} = \{4; 0\}$.

2. Угол $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}=\{x_1; y_1\}$ и $\vec{v}=\{x_2; y_2\}$ можно найти с помощью формулы, использующей скалярное произведение: $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$.

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 3 \cdot 4 + (-\sqrt{3}) \cdot 0 = 12 + 0 = 12$.

4. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: $|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. $|\vec{BD}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 0} = 4$.

5. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos \alpha = \frac{12}{2\sqrt{3} \cdot 4} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$.

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе: $\cos \alpha = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Найдем угол $\alpha$, зная его косинус: Если $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$.

Так как косинус положителен, угол $\alpha$ острый. Угол между диагоналями по определению является острым углом, образованным при их пересечении.

Ответ: $30^\circ$.