Номер 2, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2. По аксиоме III две пересекающиеся прямые определяют плоскость однозначно, т.е. через эти прямые проходит единственная плоскость. В каких еще случаях плоскость определяется однозначно?

Помимо случая с двумя пересекающимися прямыми, который упомянут в вопросе, существует еще три стандартных способа однозначно задать плоскость в пространстве. Все эти способы можно свести к базовой аксиоме стереометрии.

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой

Это фундаментальная аксиома стереометрии (Аксиома I). Если имеются три точки $A$, $B$ и $C$, которые не принадлежат одной и той же прямой, то через них проходит плоскость, и притом только одна. Любая другая конфигурация, задающая плоскость, доказывается через сведение к этому случаю.

Доказательство: Является аксиомой, то есть принимается без доказательства.

Ответ: Плоскость определяется однозначно через три точки, не лежащие на одной прямой.

2. Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой

Если дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая ей, то через них можно провести единственную плоскость.

Доказательство: На прямой $a$ можно выбрать две различные точки, например, $A$ и $B$. В результате мы получаем три точки: $A$, $B$ и $M$. Поскольку точка $M$ по условию не лежит на прямой $a$ (которая проходит через точки $A$ и $B$), то эти три точки не лежат на одной прямой. Как было сказано в пункте 1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Эта плоскость содержит точки $A$ и $B$, а значит, и всю прямую $a$, а также содержит точку $M$. Таким образом, единственная плоскость определена.

Ответ: Плоскость определяется однозначно через прямую и точку, не лежащую на этой прямой.

3. Через две параллельные прямые

Если даны две параллельные прямые $a$ и $b$, то через них проходит единственная плоскость.

Доказательство: По определению, две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Остается доказать, что эта плоскость единственна. Возьмем на прямой $b$ любую точку $M$. Теперь у нас есть прямая $a$ и точка $M$, которая не лежит на прямой $a$ (так как прямые $a$ и $b$ параллельны и не совпадают). Эта ситуация сводится к случаю 2: через прямую $a$ и точку $M$ проходит единственная плоскость. Эта плоскость содержит прямую $a$ и точку $M$. Так как эта плоскость содержит точку $M$ с прямой $b$ и параллельную ей прямую $a$, то она содержит и всю прямую $b$. Следовательно, эта плоскость является единственной, проходящей через обе параллельные прямые.

Ответ: Плоскость определяется однозначно через две параллельные прямые.