Номер 8, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. Что вы понимаете под углом между прямыми в пространстве? Какие прямые называются перпендикулярными?

Что вы понимаете под углом между прямыми в пространстве?

Угол между двумя прямыми в пространстве — это геометрическое понятие, которое определяется в зависимости от взаимного расположения этих прямых. Существует три случая:

1. Пересекающиеся прямые. Если две прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$, они образуют четыре неразвернутых угла. Углом между прямыми $a$ и $b$ называется величина наименьшего из этих углов. Этот угол $\alpha$ всегда находится в промежутке $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$.

2. Параллельные прямые. Если прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то угол между ними по определению считается равным $0^\circ$.

3. Скрещивающиеся прямые. Это прямые, которые не пересекаются и не являются параллельными, то есть не лежат в одной плоскости. Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$, необходимо выполнить параллельный перенос. Через произвольную точку $M$ в пространстве проводят прямые $a'$ и $b'$, параллельные исходным прямым ($a' \parallel a$ и $b' \parallel b$). Прямые $a'$ и $b'$ будут пересекаться в точке $M$. Углом между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ по определению является угол между построенными пересекающимися прямыми $a'$ и $b'$. Величина этого угла не зависит от выбора точки $M$. Как и в случае пересекающихся прямых, за угол между ними принимается наименьший из образованных углов, то есть его значение $\alpha$ находится в промежутке $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$.

Ответ: Углом между прямыми в пространстве называется угол, который не превышает $90^\circ$ и образован двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны данным (если они скрещиваются) или совпадают с ними (если они пересекаются). Для параллельных прямых угол равен $0^\circ$.

Какие прямые называются перпендикулярными?

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90^\circ$. Обозначается это как $a \perp b$.

Это определение применяется как к пересекающимся, так и к скрещивающимся прямым:

• Пересекающиеся прямые перпендикулярны, если в точке их пересечения они образуют прямой угол.

• Скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если угол между ними, найденный по правилу (через параллельный перенос), равен $90^\circ$. То есть, если через произвольную точку пространства провести прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым, то эти новые прямые будут пересекаться под углом $90^\circ$.

Ответ: Перпендикулярными называются прямые в пространстве (пересекающиеся или скрещивающиеся), угол между которыми составляет $90^\circ$.