Номер 12, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

12. Что вы понимаете под перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость? Как определяется расстояние от точки до плоскости?

Что вы понимаете под перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость?

Пусть имеется точка $A$, не лежащая в плоскости $\alpha$. Перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на плоскость $\alpha$, называется отрезок $AH$, где точка $H$ принадлежит плоскости $\alpha$, а прямая, содержащая этот отрезок (прямая $AH$), перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Это означает, что прямая $AH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $H$. Точка $H$ называется основанием перпендикуляра. Важным свойством является то, что из любой точки, не лежащей на плоскости, можно опустить на эту плоскость только один перпендикуляр.

Ответ: Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, — это отрезок, который соединяет данную точку с точкой на плоскости и лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

Как определяется расстояние от точки до плоскости?

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Это расстояние является кратчайшим из всех возможных расстояний от исходной точки до любой точки на плоскости.

Чтобы это показать, рассмотрим перпендикуляр $AH$, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$, и любой другой отрезок $AM$, где $M$ — произвольная точка на плоскости $\alpha$, отличная от $H$. Отрезок $AM$ называется наклонной, а отрезок $HM$ — проекцией наклонной на плоскость.

Поскольку $AH \perp \alpha$, то прямая $AH$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $H$, в том числе и прямой $HM$. Следовательно, треугольник $\triangle AHM$ является прямоугольным, где $\angle AHM = 90^\circ$. В этом треугольнике $AH$ — катет, а $AM$ — гипотенуза. Так как гипотенуза всегда длиннее катета, то $AM > AH$. Это справедливо для любой точки $M$ на плоскости, не совпадающей с $H$. Таким образом, длина перпендикуляра $AH$ является наименьшей.

Ответ: Расстояние от точки до плоскости определяется как длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.