Номер 16, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

16. Докажите признак перпендикулярности двух плоскостей.

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано:

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$.

Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$.

Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

Доказать:

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\alpha \perp \beta$).

Доказательство:

1. Поскольку прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$, она пересекает ее в некоторой точке $A$. Так как прямая $a$ по условию лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то точка $A$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, точка $A$ является общей для обеих плоскостей. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Обозначим линию их пересечения как прямую $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$, и точка $A$ лежит на прямой $c$ ($A \in c$).

2. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через точку $A$. Прямая $c$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $A$, следовательно, $a \perp c$.

3. Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это линейный угол соответствующего двугранного угла. Для его построения необходимо в точке $A$ на линии пересечения $c$ восстановить перпендикуляры в каждой из плоскостей. В плоскости $\alpha$ у нас уже есть такой перпендикуляр — это прямая $a$, так как $a \subset \alpha$ и $a \perp c$.

4. Проведем в плоскости $\beta$ через точку $A$ прямую $b$, перпендикулярную прямой $c$ ($b \perp c, b \subset \beta$).

5. Угол между прямыми $a$ и $b$ и будет являться линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Найдем величину этого угла.

6. Из условия нам известно, что прямая $a$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $A$. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\beta$, проходящей через $A$. Следовательно, $a \perp b$.

7. Раз угол между прямыми $a$ и $b$ равен $90^\circ$, то и линейный угол двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен $90^\circ$. По определению, это означает, что плоскости перпендикулярны: $\alpha \perp \beta$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема о признаке перпендикулярности двух плоскостей доказана.