Номер 23, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

23. Что такое скалярное произведение двух векторов? Как определяется угол между векторами?

Что такое скалярное произведение двух векторов?

Скалярным произведением (или точечным произведением) двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$.

Геометрическое определение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ соответственно, а $\varphi$ — угол между этими векторами. Если хотя бы один из векторов нулевой, их скалярное произведение по определению равно нулю.

Алгебраическое определение (в координатах):

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат, например, в трехмерном пространстве:

$\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$,

то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Основные свойства:

- Скалярное произведение равно нулю ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$) тогда и только тогда, когда ненулевые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны (ортогональны).

- Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

- Скалярное произведение коммутативно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Ответ: Скалярное произведение двух векторов — это число, которое можно вычислить либо как произведение их длин и косинуса угла между ними, либо как сумму произведений их соответствующих координат.

Как определяется угол между векторами?

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенными от одной точки, называется наименьший угол между их направлениями. Этот угол $\varphi$ находится в диапазоне от 0 до 180 градусов (или от 0 до $\pi$ радиан).

Угол между векторами определяется с помощью формулы скалярного произведения. Исходя из определения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi$, можно выразить косинус угла:

$\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Сам угол $\varphi$ находится путем взятия арккосинуса от полученного значения:

$\varphi = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\right)$

Если векторы заданы в координатах, например, $\vec{a} = \{a_x, a_y, a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x, b_y, b_z\}$, то формула для косинуса угла принимает вид:

$\cos\varphi = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$

Ответ: Угол между векторами определяется через его косинус, который равен скалярному произведению векторов, деленному на произведение их длин (модулей).