Номер 20, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

20. Что такое ортогональное проектирование? Как определяется площадь ортогональной проекции многоугольника?

Что такое ортогональное проектирование?

Ортогональное (или прямоугольное) проектирование — это частный случай параллельного проектирования, при котором все проектирующие прямые перпендикулярны (ортогональны) плоскости проекций.

Чтобы построить ортогональную проекцию точки $A$ на плоскость $\pi$ (называемую плоскостью проекций), через эту точку проводят прямую, перпендикулярную плоскости $\pi$. Точка $A'$, в которой эта прямая пересекает плоскость $\pi$, и является ортогональной проекцией точки $A$.

Ортогональной проекцией фигуры называется множество проекций всех ее точек. Так, проекцией отрезка является отрезок или точка (если отрезок перпендикулярен плоскости проекции). Проекцией многоугольника является многоугольник, вершины которого — это проекции вершин исходного многоугольника, или отрезок (если плоскость многоугольника перпендикулярна плоскости проекции).

Ответ: Ортогональное проектирование — это способ изображения пространственной фигуры на плоскости, при котором проекция каждой точки фигуры является основанием перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость проекций.

Как определяется площадь ортогональной проекции многоугольника?

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость определяется по теореме, которая связывает площадь исходной фигуры, площадь ее проекции и угол между их плоскостями.

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника гласит: площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на плоскость равна произведению площади этого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Формула для вычисления выглядит следующим образом: $S_{пр} = S \cdot \cos \alpha$, где $S$ — площадь исходного многоугольника, $S_{пр}$ — площадь его ортогональной проекции, а $\alpha$ — угол между плоскостью, в которой лежит многоугольник, и плоскостью проекции. Угол $\alpha$ (двугранный угол) измеряется в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$.

• Если плоскости параллельны, то $\alpha = 0^\circ$, $\cos 0^\circ = 1$, и площадь проекции равна площади многоугольника: $S_{пр} = S$.
• Если плоскости перпендикулярны, то $\alpha = 90^\circ$, $\cos 90^\circ = 0$, и площадь проекции равна нулю: $S_{пр} = 0$ (многоугольник проецируется в отрезок).

Ответ: Площадь ортогональной проекции многоугольника ($S_{пр}$) определяется по формуле $S_{пр} = S \cdot \cos \alpha$, где $S$ — площадь самого многоугольника, а $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.