Номер 14, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14. Докажите теорему о трех перпендикулярах.

Теорема о трех перпендикулярах устанавливает связь между перпендикулярностью прямой к плоскости, перпендикулярностью наклонной и ее проекции.

Формулировка: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Доказательство:

Пусть $\alpha$ – некоторая плоскость, $A$ – точка, не лежащая в плоскости $\alpha$. Проведем из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к плоскости $\alpha$ и наклонную $AM$. Тогда отрезок $HM$ является проекцией наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$. Пусть в плоскости $\alpha$ через точку $M$ проходит прямая $a$.

Дано:

$AH \perp \alpha$

$AM$ – наклонная к $\alpha$

$HM$ – проекция $AM$ на $\alpha$

$a \subset \alpha$, $M \in a$

$a \perp HM$

Доказать:

$a \perp AM$

1. Поскольку прямая $AH$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ по условию ($AH \perp \alpha$), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, $AH \perp a$.

2. По условию теоремы, прямая $a$ перпендикулярна проекции $HM$: $a \perp HM$.

3. Прямые $AH$ и $HM$ пересекаются в точке $H$ и образуют плоскость $(AHM)$.

4. Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AH$ и $HM$) в плоскости $(AHM)$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна всей плоскости $(AHM)$, то есть $a \perp (AHM)$.

5. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Наклонная $AM$ лежит в плоскости $(AHM)$.

6. Следовательно, $a \perp AM$.

Что и требовалось доказать.

Формулировка: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции.

Доказательство:

Используем те же обозначения, что и в прямой теореме.

Дано:

$AH \perp \alpha$

$AM$ – наклонная к $\alpha$

$HM$ – проекция $AM$ на $\alpha$

$a \subset \alpha$, $M \in a$

$a \perp AM$

Доказать:

$a \perp HM$

1. По условию, $AH \perp \alpha$. Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то $AH \perp a$.

2. По условию обратной теоремы, прямая $a$ перпендикулярна наклонной $AM$: $a \perp AM$.

3. Прямые $AH$ и $AM$ пересекаются в точке $A$ и определяют плоскость $(AHM)$.

4. Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AH$ и $AM$), лежащим в плоскости $(AHM)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна всей плоскости $(AHM)$, то есть $a \perp (AHM)$.

5. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Проекция $HM$ лежит в плоскости $(AHM)$.

6. Следовательно, $a \perp HM$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема о трех перпендикулярах и обратная к ней теорема доказаны на основании определения и признака перпендикулярности прямой и плоскости.