Номер 11, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

11. Покажите, что прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом, который опирается на две ключевые теоремы стереометрии о перпендикулярности прямой и плоскости.

Дано:

Плоскость $\alpha$.

Прямая $a$, такая что $a \perp \alpha$.

Прямая $b$, такая что $b \perp \alpha$.

Доказать:

$a \parallel b$.

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда прямые $a$ и $b$ не совпадают. Доказательство построим на основе двух лемм (вспомогательных теорем), которые обычно доказываются ранее:

• Теорема 1: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
• Теорема 2: Через любую точку пространства, не лежащую на данной плоскости, проходит только одна прямая, перпендикулярная этой плоскости.

Построим доказательство по шагам:

1. Выберем на прямой $b$ произвольную точку $M$, не лежащую в плоскости $\alpha$. Это возможно, так как прямая $b$ бесконечна и пересекает плоскость только в одной точке.

2. Через точку $M$ проведём прямую $c$, параллельную прямой $a$. Существование и единственность такой прямой гарантируется аксиомой параллельных прямых. Таким образом, по построению мы имеем $c \parallel a$.

3. Теперь применим Теорему 1. У нас есть прямая $a$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$ по условию), и прямая $c$, которая параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$ по построению). Следовательно, прямая $c$ также должна быть перпендикулярна плоскости $\alpha$. То есть, $c \perp \alpha$.

4. В результате мы имеем следующую ситуацию: через точку $M$ проходят две прямые, $b$ и $c$. При этом обе эти прямые перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$:

   • $b \perp \alpha$ (по условию задачи).
   • $c \perp \alpha$ (согласно нашему выводу в шаге 3).

5. Теперь воспользуемся Теоремой 2 о единственности перпендикуляра. Эта теорема утверждает, что через точку $M$ может проходить лишь одна прямая, перпендикулярная плоскости $\alpha$.

6. Поскольку обе прямые, $b$ и $c$, проходят через точку $M$ и обе перпендикулярны плоскости $\alpha$, они не могут быть разными прямыми. Они должны совпадать. Итак, прямая $b$ и прямая $c$ — это одна и та же прямая.

7. Вспомним, что прямую $c$ мы строили параллельно прямой $a$ ($c \parallel a$). Так как прямая $b$ совпадает с прямой $c$, то из этого следует, что прямая $b$ также параллельна прямой $a$.

Таким образом, мы доказали, что $a \parallel b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Доказательство основано на том, что если через точку на одной из этих прямых провести прямую, параллельную второй, то, в силу свойств перпендикулярности и параллельности, эта построенная прямая окажется перпендикулярной исходной плоскости. А так как через одну точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости, то построенная прямая совпадает с первой прямой. Следовательно, исходные прямые параллельны.