Номер 18, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

18. Какие свойства параллельного проектирования вы знаете?

Параллельное проектирование — это способ изображения пространственных фигур на плоскости, при котором все проецирующие прямые, по которым точки фигуры переносятся на плоскость проекций, параллельны друг другу. Задается оно плоскостью проекций $\pi$ и направлением проектирования (прямой $l$, пересекающей $\pi$). Проекцией точки $A$ из пространства является точка пересечения $A'$ прямой, проходящей через $A$ параллельно $l$, с плоскостью $\pi$.

Основные свойства параллельного проектирования:

1. Проекция прямой

Проекцией прямой в пространстве на плоскость является прямая. Единственное исключение — это случай, когда сама проецируемая прямая параллельна направлению проектирования. В такой ситуации ее проекцией будет одна точка.

Ответ: Проекция прямой — это прямая (если прямая не параллельна направлению проектирования).

2. Сохранение принадлежности точек прямой и их порядка

Если точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой в пространстве, то их проекции $A'$, $B'$, $C'$ также будут лежать на одной прямой. При этом сохраняется их взаимный порядок. Например, если точка $C$ лежит на отрезке $AB$, то её проекция $C'$ будет лежать на проекции этого отрезка, т.е. на отрезке $A'B'$.

Ответ: Точки, лежащие на одной прямой, проецируются в точки, также лежащие на одной прямой, с сохранением их взаимного порядка.

3. Сохранение отношения длин отрезков на одной прямой

При параллельном проектировании сохраняется отношение длин отрезков, которые лежат на одной прямой. Если точка $C$ делит отрезок $AB$ в отношении $AC:CB = m:n$, то ее проекция $C'$ разделит проекцию отрезка $A'B'$ в том же самом отношении: $A'C' : C'B' = m:n$. Важным следствием этого свойства является то, что середина отрезка всегда проецируется в середину его проекции.

Ответ: Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется.

4. Сохранение параллельности прямых

Если две прямые в пространстве параллельны друг другу ($a \parallel b$), то их проекции на плоскость также будут параллельны ($a' \parallel b'$) или же совпадут в одну прямую ($a' = b'$). Совпадение проекций происходит в том случае, когда плоскость, в которой лежат обе исходные прямые, параллельна направлению проектирования.

Ответ: Параллельные прямые проецируются в параллельные прямые или в одну прямую.

5. Сохранение отношения длин параллельных отрезков

Это свойство обобщает свойство 3 на отрезки, лежащие на параллельных прямых. Отношение длин таких отрезков сохраняется при проектировании. Если отрезки $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), то для их проекций $A'B'$ и $C'D'$ справедливо соотношение: $\frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'}$. Из этого, в частности, следует, что равные и параллельные отрезки проецируются в равные отрезки.

Ответ: Отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется.

Что не сохраняется при параллельном проектировании

Важно помнить, что в общем случае параллельное проектирование не сохраняет метрические характеристики фигур. К ним относятся: длины отрезков, величины углов, площади фигур. Например, окружность, плоскость которой не параллельна плоскости проекций, проецируется в эллипс; квадрат может спроецироваться в произвольный параллелограмм; прямой угол — в острый или тупой.

Ответ: Длины, углы и площади в общем случае при параллельном проектировании не сохраняются.