Номер 22, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

22. Как определяются координаты точки и вектора в пространстве? Найдите координаты вектора по координатам его концов.

Как определяются координаты точки и вектора в пространстве?

Для определения координат в пространстве вводится прямоугольная (декартова) система координат. Эта система состоит из точки начала отсчета $O(0; 0; 0)$ и трех взаимно перпендикулярных координатных осей: оси абсцисс ($Ox$), оси ординат ($Oy$) и оси аппликат ($Oz$), на каждой из которых выбрано направление и единичный отрезок.

Координаты точки: Каждой точке $M$ в пространстве ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел $(x; y; z)$, которые называются ее координатами. Эти числа равны проекциям радиус-вектора $\vec{OM}$ на координатные оси. Иными словами, чтобы найти координаты точки $M$, нужно из нее опустить перпендикуляры на координатные плоскости (или оси), и длины полученных отрезков от начала координат до оснований перпендикуляров (с учетом знака) дадут соответствующие координаты. Координата $x$ называется абсциссой, $y$ – ординатой, $z$ – аппликатой.

Координаты вектора: Любой вектор $\vec{a}$ в пространстве можно разложить по базисным векторам $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$, которые являются единичными векторами, сонаправленными с осями $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Это разложение имеет вид:

$\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$

Числа $a_x$, $a_y$, $a_z$ называются координатами вектора $\vec{a}$ в данной системе координат и записываются как $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$. Координаты вектора равны его проекциям на соответствующие координатные оси. Вектор с началом в точке $O(0; 0; 0)$ и концом в точке $M(x; y; z)$ (радиус-вектор точки $M$) имеет координаты, совпадающие с координатами точки $M$: $\vec{OM} = \{x; y; z\}$.

Ответ: Координаты точки в пространстве определяются как упорядоченная тройка чисел $(x, y, z)$, соответствующих проекциям ее радиус-вектора на три взаимно перпендикулярные оси координат. Координаты вектора определяются как коэффициенты его разложения по базисным векторам, которые равны проекциям вектора на оси координат.

Найдите координаты вектора по координатам его концов.

Пусть в пространстве заданы две точки: начальная точка вектора $A(x_1; y_1; z_1)$ и его конечная точка $B(x_2; y_2; z_2)$. Требуется найти координаты вектора $\vec{AB}$.

Вектор $\vec{AB}$ можно представить как разность радиус-векторов его конечной и начальной точек:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

где $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ – радиус-векторы точек $A$ и $B$ соответственно.

Координаты радиус-вектора точки совпадают с координатами самой точки:

$\vec{OA}$ имеет координаты $\{x_1; y_1; z_1\}$.

$\vec{OB}$ имеет координаты $\{x_2; y_2; z_2\}$.

При вычитании векторов их соответствующие координаты вычитаются. Следовательно, координаты вектора $\vec{AB}$ равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Если вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $\{a_x; a_y; a_z\}$, то:

$a_x = x_2 - x_1$

$a_y = y_2 - y_1$

$a_z = z_2 - z_1$

Таким образом, вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $\{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$.

Ответ: Координаты вектора, заданного координатами его начала $A(x_1; y_1; z_1)$ и конца $B(x_2; y_2; z_2)$, находятся по формуле $\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$.