Номер 19, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

19. Назовите принципы изображения пространственных фигур на плоскости. Приведите пример.

Принципы изображения пространственных фигур на плоскости

Изображение пространственных (трехмерных) фигур на плоскости (например, на листе бумаги) в курсе геометрии, как правило, строится на основе метода параллельного проецирования. Этот метод заключается в том, что через каждую точку фигуры проводится прямая, параллельная заданному направлению (направлению проецирования), до пересечения с плоскостью изображения (плоскостью проекций). Совокупность полученных точек-проекций и образует изображение фигуры.

Основные принципы изображения, вытекающие из свойств параллельного проецирования:

1. Сохранение прямолинейности. Проекцией прямой является прямая, а проекцией отрезка — отрезок. Поэтому все прямолинейные элементы фигуры (например, рёбра многогранника) изображаются отрезками прямых.

2. Сохранение параллельности. Проекции параллельных прямых на плоскости также параллельны между собой (или совпадают, если они лежат в одной проецирующей плоскости). Это свойство позволяет правильно изображать параллельные элементы фигур, например, основания призмы или противоположные рёбра параллелепипеда.

3. Сохранение отношения длин отрезков на одной прямой. Если точка делит отрезок в определённом отношении, то её проекция делит проекцию отрезка в том же самом отношении. Например, середина отрезка проецируется в середину его проекции. Однако важно помнить, что длины самих отрезков и величины углов между прямыми, как правило, искажаются. Например, квадрат в общем случае изображается в виде произвольного параллелограмма.

4. Учёт видимости. При изображении непрозрачных объектов некоторые их части (рёбра, грани) оказываются невидимыми для наблюдателя. Такие невидимые линии принято изображать штриховыми (пунктирными) линиями, а видимые — сплошными.

Ответ: Принципы изображения пространственных фигур на плоскости — это свойства параллельного проецирования, согласно которым: 1) прямая проецируется в прямую, а отрезок — в отрезок; 2) параллельные прямые проецируются в параллельные прямые; 3) сохраняется отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой; 4) для наглядности невидимые линии изображаются штриховыми.

Пример

Рассмотрим применение этих принципов на примере изображения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на плоскости.

1. Изображение рёбер. Все 12 рёбер куба являются отрезками, поэтому на чертеже они изображаются в виде отрезков.

2. Параллельность. В кубе есть три группы по четыре взаимно параллельных ребра. На чертеже все рёбра внутри каждой группы изображаются параллельными отрезками. Например, изображения рёбер $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ будут параллельны друг другу. Аналогично, изображения рёбер основания $AB$ и $DC$ будут параллельны, также как и $BC$ и $AD$.

3. Отношения и искажения. Грани куба являются квадратами. При проецировании они, в общем случае, изображаются в виде параллелограммов. Это означает, что прямые углы не сохраняются, и длины рёбер, равные в пространстве, на чертеже могут иметь разную длину. Однако, точка пересечения диагоналей грани, которая делит их пополам, на проекции также будет серединой проекций этих диагоналей.

4. Видимость. Для наглядности используется правило видимости. Обычно куб изображают так, чтобы были видны три смежные грани (например, передняя, верхняя и правая). Рёбра, образующие эти грани и находящиеся на переднем плане, рисуются сплошными линиями. Рёбра, которые скрыты от взгляда другими частями куба (например, три ребра, выходящие из самой дальней от наблюдателя вершины), изображаются штриховыми (пунктирными) линиями. Это создаёт иллюзию объёма.

Ответ: Примером применения принципов является изображение куба, где его грани-квадраты изображаются в виде параллелограммов, параллельные рёбра куба — в виде параллельных отрезков, а невидимые для наблюдателя рёбра — в виде штриховых линий, что в совокупности даёт наглядное представление о фигуре.