Номер 17, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

17. Как определяется расстояние между скрещивающимися прямыми?

Скрещивающимися прямыми называются две прямые в трехмерном пространстве, которые не пересекаются и не параллельны. Это означает, что они не лежат в одной плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется как длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр — это отрезок, концы которого лежат на данных прямых и который перпендикулярен каждой из них. Для любых двух скрещивающихся прямых такой отрезок существует, и он единственный. Его длина является наименьшим из всех возможных расстояний между точками, принадлежащими этим прямым.

Для вычисления этого расстояния на практике используют несколько методов.

Этот геометрический метод сводит исходную задачу к более простой — нахождению расстояния от точки до плоскости. Алгоритм действий следующий:

1. Пусть даны скрещивающиеся прямые $a$ и $b$.
2. Через прямую $a$ необходимо построить плоскость $\alpha$, которая будет параллельна прямой $b$. Для этого через произвольную точку на прямой $a$ проводим прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Плоскость $\alpha$, проходящая через пересекающиеся прямые $a$ и $b'$, будет параллельна прямой $b$.
3. Расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ будет равно расстоянию от любой точки прямой $b$ до плоскости $\alpha$.
4. Выбираем произвольную точку $M$ на прямой $b$ и вычисляем расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$. Это расстояние и будет искомым.

Этот метод является универсальным и особенно удобен, если задача задана в координатах.

Пусть первая прямая $l_1$ проходит через точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_1} = (a_1, b_1, c_1)$.

Пусть вторая прямая $l_2$ проходит через точку $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_2} = (a_2, b_2, c_2)$.

Тогда расстояние $d$ между прямыми $l_1$ и $l_2$ вычисляется по формуле, использующей смешанное и векторное произведения векторов:

$d = \frac{|(\vec{M_1M_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

Здесь:

• $\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ — вектор, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй прямой.
• $(\vec{M_1M_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2})$ — смешанное произведение трех векторов. Его модуль равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
• $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$ — векторное произведение направляющих векторов. Его модуль равен площади параллелограмма (основания параллелепипеда), построенного на векторах $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$.

Геометрический смысл этой формулы заключается в вычислении высоты параллелепипеда (построенного на векторах $\vec{M_1M_2}$, $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$) по формуле $V/S_{осн}$, где $V$ - объем, а $S_{осн}$ - площадь основания. Эта высота и является расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Ответ: Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Для его нахождения можно либо построить параллельную одной из прямых плоскость, содержащую другую прямую, и найти расстояние от точки до этой плоскости, либо, если известны координаты, использовать формулу $d = \frac{|(\vec{M_1M_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$.