Номер 24, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

24. Напишите формулу деления отрезка в данном отношении и поясните ее смысл.

Формула деления отрезка в данном отношении

Пусть на плоскости даны две точки, являющиеся концами отрезка: $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Точка $C(x, y)$ делит отрезок $AB$ в заданном отношении $\lambda$, что означает, что отношение длины отрезка $AC$ к длине отрезка $CB$ равно $\lambda$. Математически это записывается как $\frac{AC}{CB} = \lambda$.

Координаты точки $C(x, y)$ вычисляются по формулам:

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$

$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

В этих формулах $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ — это координаты концов отрезка $A$ и $B$ соответственно, а $\lambda$ — это заданное положительное число (отношение), где $\lambda \neq -1$.

В частном случае, когда отрезок делится пополам, точка $C$ является его серединой. Это соответствует отношению $\lambda = 1$. Формулы значительно упрощаются и принимают вид формул для нахождения координат середины отрезка:

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Ответ:

Пояснение ее смысла

Смысл этой формулы заключается в том, чтобы найти точное положение (координаты) точки на отрезке, которая делит его не произвольно, а на две части с заданным соотношением длин.

Величина $\lambda$ — это и есть это соотношение. Она показывает, как длина первого получившегося отрезка (от точки $A$ до точки $C$) относится к длине второго отрезка (от точки $C$ до точки $B$).

Рассмотрим на примерах:

Если $\lambda = 1$, то $\frac{AC}{CB} = 1$, откуда $AC = CB$. Это означает, что длины отрезков равны, и точка $C$ — это ровно середина отрезка $AB$.

Если $\lambda = 2$, то $\frac{AC}{CB} = 2$, откуда $AC = 2 \cdot CB$. Это значит, что точка $C$ расположена так, что расстояние от $A$ до $C$ в два раза больше, чем от $C$ до $B$. Следовательно, точка $C$ находится ближе к точке $B$.

Если $\lambda = 0.5$ (или $1/2$), то $\frac{AC}{CB} = 0.5$, откуда $AC = 0.5 \cdot CB$, или $2 \cdot AC = CB$. В этом случае расстояние от $C$ до $B$ вдвое больше, чем от $A$ до $C$, то есть точка $C$ расположена ближе к точке $A$.

Таким образом, формула представляет собой вычисление координат точки $C$ как "взвешенного среднего" от координат концов отрезка $A$ и $B$. "Веса" (или коэффициенты влияния) каждой из точек $A$ и $B$ на итоговое положение точки $C$ определяются отношением $\lambda$.