Номер 21, страница 170 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21. Что вы понимаете под векторами в пространстве? Какие действия применяются к ним? Покажите правило параллелепипеда для трех векторов.

Что вы понимаете под векторами в пространстве?

Под вектором в пространстве понимают направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом. Вектор характеризуется двумя основными свойствами:

• Длиной (модулем) — это числовое значение, равное длине отрезка, изображающего вектор. Модуль вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$.

• Направлением в пространстве.

Векторы, имеющие одинаковую длину и одинаковое направление, считаются равными, независимо от их точки приложения. Такие векторы называют свободными. Вектор, начало которого совпадает с концом, называется нулевым вектором ($\vec{0}$), его длина равна нулю, а направление не определено.

В декартовой системе координат Oxyz в пространстве вектор $\vec{a}$ можно представить в виде упорядоченной тройки чисел — его координат: $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$. Если вектор $\overrightarrow{AB}$ задан координатами своего начала $A(x_1, y_1, z_1)$ и конца $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты вычисляются как разность координат конца и начала: $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

Длина (модуль) вектора $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Ответ: Вектор в пространстве — это направленный отрезок, который характеризуется длиной (модулем) и направлением. В координатной форме он представляется тройкой чисел. Векторы считаются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Какие действия применяются к ним?

К векторам в пространстве применяются следующие основные действия:

1. Сложение векторов. Суммой двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, который в координатной форме равен $\vec{c} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)$. Геометрически сложение выполняется по правилу треугольника или правилу параллелограмма.

2. Вычитание векторов. Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является вектор $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$, определяемый как сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного $\vec{b}$. В координатах: $\vec{d} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)$.

3. Умножение вектора на скаляр (число). Произведением вектора $\vec{a}$ на скаляр $k$ является вектор $k\vec{a}$, который коллинеарен вектору $\vec{a}$, имеет длину $|k| \cdot |\vec{a}|$ и то же направление, что и $\vec{a}$, если $k > 0$, и противоположное, если $k < 0$. В координатах: $k\vec{a} = (ka_x, ka_y, ka_z)$.

4. Скалярное произведение векторов. Это операция, результатом которой является скаляр (число). Определяется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между векторами. В координатах: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$. Если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

5. Векторное произведение векторов. Эта операция (применимая только в 3D) ставит в соответствие двум векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ третий вектор $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$, который перпендикулярен им обоим. Его модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $|\vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\varphi$. Направление определяется по правилу правой руки. В координатах вычисляется через определитель: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$.

6. Смешанное произведение векторов. Это операция над тремя векторами, результатом которой является скаляр. Определяется как $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Если произведение равно нулю, векторы компланарны (лежат в одной плоскости). В координатах вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат векторов.

Ответ: Основные действия с векторами включают сложение, вычитание, умножение на скаляр (линейные операции), а также скалярное, векторное и смешанное произведения.

Покажите правило параллелепипеда для трех векторов.

Правило параллелепипеда — это геометрический способ нахождения суммы трех некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) векторов в пространстве.

Чтобы найти сумму трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ по этому правилу, необходимо выполнить следующие действия:

1. Отложить все три вектора от одной общей точки (начала) O.

2. На этих трех векторах, как на ребрах, построить параллелепипед.

3. Суммирующим вектором (результатом сложения) $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ будет вектор, который является главной диагональю этого параллелепипеда. Эта диагональ соединяет общую точку начала векторов O с противоположной вершиной параллелепипеда.

Этот процесс можно рассматривать как последовательное применение правила параллелограмма. Сначала складываются два вектора, например $\vec{a}$ и $\vec{b}$, по правилу параллелограмма. Их сумма $(\vec{a} + \vec{b})$ — это диагональ основания параллелепипеда. Затем к этому результату прибавляется третий вектор $\vec{c}$. Сумма $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ будет диагональю параллелограмма, построенного на векторах $(\vec{a} + \vec{b})$ и $\vec{c}$, что и соответствует главной диагонали всего параллелепипеда.

Ответ: Правило параллелепипеда гласит, что сумма трех некомпланарных векторов, отложенных от одной точки, равна вектору, который совпадает с главной диагональю параллелепипеда, построенного на этих трех векторах как на ребрах.