Номер 7, страница 169 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7. Докажите признаки параллельности:

а) прямой и плоскости;

б) двух плоскостей.

а)

Признак параллельности прямой и плоскости формулируется так: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство:

Пусть дана прямая $a$ и плоскость $α$. Прямая $a$ не лежит в плоскости $α$ ($a \not\subset α$). В плоскости $α$ существует прямая $b$, такая что $a \parallel b$. Нам нужно доказать, что прямая $a$ параллельна плоскости $α$, то есть $a \parallel α$.

По определению, прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Будем доказывать методом от противного.

Предположим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $α$. Поскольку прямая $a$ не лежит в плоскости $α$, это означает, что она пересекает плоскость $α$ в некоторой единственной точке $M$. Таким образом, $a \cap α = \{M\}$.

По условию задачи, $a \parallel b$. Две параллельные прямые однозначно определяют плоскость, в которой они обе лежат. Назовем эту плоскость $β$. Итак, $a \subset β$ и $b \subset β$.

Теперь рассмотрим положение точки $M$. Так как точка $M$ принадлежит прямой $a$, а прямая $a$ лежит в плоскости $β$, то точка $M$ также принадлежит плоскости $β$ ($M \in β$).

По нашему предположению, точка $M$ также принадлежит плоскости $α$ ($M \in α$). Следовательно, точка $M$ является общей точкой для плоскостей $α$ и $β$, то есть она лежит на линии их пересечения.

Прямая $b$ также является общей для этих двух плоскостей: по условию $b \subset α$ и по построению $b \subset β$. Это означает, что прямая $b$ и есть линия пересечения плоскостей $α$ и $β$.

Таким образом, точка $M$ должна лежать на прямой $b$. Но точка $M$ также лежит на прямой $a$. Это значит, что $M$ — общая точка для прямых $a$ и $b$.

Это приводит к противоречию с условием, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), так как параллельные прямые по определению не имеют общих точек.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что прямая $a$ пересекает плоскость $α$, неверно. Так как прямая $a$ не лежит в плоскости $α$ и не пересекает ее, она ей параллельна. Что и требовалось доказать.

Ответ: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

б)

Признак параллельности двух плоскостей формулируется так: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть даны две плоскости $α$ и $β$. В плоскости $α$ лежат две прямые $a_1$ и $a_2$, которые пересекаются в точке $M$ ($a_1 \cap a_2 = \{M\}$). В плоскости $β$ лежат прямые $b_1$ и $b_2$. По условию $a_1 \parallel b_1$ и $a_2 \parallel b_2$. Нам нужно доказать, что плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \parallel β$).

По определению, две плоскости параллельны, если они не пересекаются. Будем доказывать методом от противного.

Предположим, что плоскости $α$ и $β$ не параллельны, а значит, они пересекаются по некоторой прямой $c$. То есть, $α \cap β = c$.

Рассмотрим прямую $a_1$. Она лежит в плоскости $α$ ($a_1 \subset α$) и по условию $a_1 \parallel b_1$. Прямая $b_1$ лежит в плоскости $β$ ($b_1 \subset β$). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости (доказанному в пункте а)), если прямая ($a_1$) не лежит в плоскости ($β$) и параллельна прямой в этой плоскости ($b_1$), то она параллельна самой плоскости. Следовательно, $a_1 \parallel β$.

Если прямая параллельна плоскости, она не имеет с ней общих точек. Прямая $c$ — линия пересечения плоскостей $α$ и $β$, поэтому она целиком лежит в плоскости $β$ ($c \subset β$). Значит, прямая $a_1$ не может пересекать прямую $c$.

Поскольку обе прямые, $a_1$ и $c$, лежат в одной плоскости $α$ и не пересекаются, они должны быть параллельны: $a_1 \parallel c$.

Аналогичные рассуждения проведем для прямой $a_2$. Она лежит в плоскости $α$ ($a_2 \subset α$) и параллельна прямой $b_2$, которая лежит в плоскости $β$ ($b_2 \subset β$). По тому же признаку параллельности прямой и плоскости, $a_2 \parallel β$. Это означает, что $a_2$ не пересекается с прямой $c$ (так как $c \subset β$). Поскольку $a_2$ и $c$ лежат в одной плоскости $α$ и не пересекаются, они параллельны: $a_2 \parallel c$.

В итоге мы получили, что $a_1 \parallel c$ и $a_2 \parallel c$. По условию прямые $a_1$ и $a_2$ пересекаются в точке $M$. Таким образом, через точку $M$ проходят две различные прямые ($a_1$ и $a_2$), и обе они параллельны прямой $c$.

Это противоречит аксиоме параллельных прямых (или следствию из нее), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. В нашем случае через точку $M$ в плоскости $α$ может проходить лишь одна прямая, параллельная $c$.

Противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение о пересечении плоскостей $α$ и $β$ было неверным. Следовательно, плоскости $α$ и $β$ не имеют общих точек, то есть они параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.