Номер 5.40, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.40. Две стороны треугольника равны $\text{a}$ и $\text{b}$, а биссектриса угла между ними $\text{l}$. Найдите этот угол треугольника.

Пусть в треугольнике заданы две стороны, равные $a$ и $b$, и биссектриса $l$ угла $\alpha$ между этими сторонами.

Для нахождения угла $\alpha$ воспользуемся методом площадей. Площадь всего треугольника равна сумме площадей двух треугольников, на которые его делит биссектриса.

Площадь исходного треугольника можно вычислить по формуле, использующей две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$

Биссектриса $l$ делит угол $\alpha$ на два равных угла, каждый из которых равен $\frac{\alpha}{2}$. Таким образом, она делит исходный треугольник на два меньших треугольника. Площади этих треугольников равны:

$S_1 = \frac{1}{2}al \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

$S_2 = \frac{1}{2}bl \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Так как площадь большого треугольника равна сумме площадей двух малых, мы можем составить уравнение:

$S = S_1 + S_2$

$\frac{1}{2}ab \sin(\alpha) = \frac{1}{2}al \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \frac{1}{2}bl \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Умножим обе части уравнения на 2 и вынесем общие множители в правой части:

$ab \sin(\alpha) = l(a+b) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(\alpha) = 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$. Подставим это выражение в наше уравнение:

$ab \cdot 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = l(a+b) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Поскольку угол $\alpha$ в треугольнике находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, то $\frac{\alpha}{2}$ находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Следовательно, $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0$. Мы можем сократить на него обе части уравнения:

$2ab \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = l(a+b)$

Отсюда выразим $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{l(a+b)}{2ab}$

Теперь найдем сам угол $\alpha$. Сначала найдем $\frac{\alpha}{2}$, взяв арккосинус от полученного выражения, а затем умножим результат на 2:

$\frac{\alpha}{2} = \arccos\left(\frac{l(a+b)}{2ab}\right)$

$\alpha = 2 \arccos\left(\frac{l(a+b)}{2ab}\right)$

Это и есть искомый угол треугольника.

Ответ: $2 \arccos\left(\frac{l(a+b)}{2ab}\right)$