Номер 5.38, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.38. Докажите, что угол между прямыми $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ вычисляется по формуле $\operatorname{tg}\varphi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 \cdot k_2} \right|$.

Угловой коэффициент $k$ прямой, заданной уравнением вида $y = kx + b$, представляет собой тангенс угла $\alpha$, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (Ox). Таким образом, $k = \tan\alpha$.

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями: $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$. Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — это углы, которые данные прямые образуют с положительным направлением оси Ox соответственно. Согласно определению углового коэффициента:

$k_1 = \tan\alpha_1$

$k_2 = \tan\alpha_2$

Угол $\phi$ между двумя пересекающимися прямыми можно найти как разность углов их наклона. Без ограничения общности, пусть $\alpha_2 > \alpha_1$. Тогда угол между прямыми равен $\phi = \alpha_2 - \alpha_1$.

Найдем тангенс этого угла, используя тригонометрическую формулу тангенса разности: $\tan(\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{\tan \alpha_2 - \tan \alpha_1}{1 + \tan \alpha_1 \cdot \tan \alpha_2}$

Подставим в эту формулу выражения для тангенсов через угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$: $\tan\phi = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}$

Полученная величина $\tan\phi$ определяет тангенс одного из двух углов, образуемых при пересечении прямых. По соглашению, углом между прямыми считается острый угол (или прямой), для которого тангенс неотрицателен. Если значение дроби $\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}$ отрицательно, это означает, что мы нашли тангенс тупого угла $\psi$, смежного с искомым острым углом $\phi$. Так как $\tan(\pi - \phi) = -\tan\phi$, то тангенс острого угла будет равен модулю (абсолютной величине) полученного значения.

Следовательно, чтобы найти тангенс именно острого угла $\phi$ между прямыми, необходимо взять модуль от правой части формулы: $\tan\phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$

Это доказывает справедливость исходной формулы. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.