Номер 5.39, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.39. При каких значениях $\text{a}$ и $\text{b}$ прямые $ax+8y+b=0$ и $2x+ay-1=0$:

а) совпадают;

б) параллельны;

в) перпендикулярны?

Даны два уравнения прямых в общем виде $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$.

Для первой прямой $ax+8y+b=0$ коэффициенты равны: $A_1=a$, $B_1=8$, $C_1=b$.

Для второй прямой $2x+ay-1=0$ коэффициенты равны: $A_2=2$, $B_2=a$, $C_2=-1$.

Рассмотрим условия взаимного расположения этих прямых.

а) совпадают

Две прямые совпадают, если их коэффициенты пропорциональны. Это означает, что должно выполняться условие:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $

Подставим коэффициенты данных прямых:

$ \frac{a}{2} = \frac{8}{a} = \frac{b}{-1} $

Рассмотрим первую часть равенства $ \frac{a}{2} = \frac{8}{a} $, чтобы найти возможные значения $a$:

$ a \cdot a = 2 \cdot 8 $

$ a^2 = 16 $

Отсюда получаем два возможных значения: $a = 4$ или $a = -4$.

1. При $a=4$ пропорция принимает вид $ \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = \frac{b}{-1} $, что равносильно $2 = \frac{b}{-1}$. Из этого равенства находим $b$: $b = 2 \cdot (-1) = -2$.

2. При $a=-4$ пропорция принимает вид $ \frac{-4}{2} = \frac{8}{-4} = \frac{b}{-1} $, что равносильно $-2 = \frac{b}{-1}$. Из этого равенства находим $b$: $b = -2 \cdot (-1) = 2$.

Ответ: прямые совпадают при $a=4, b=-2$ или при $a=-4, b=2$.

б) параллельны

Прямые параллельны, но не совпадают, если коэффициенты при переменных $x$ и $y$ пропорциональны, а отношение свободных членов не равно этому значению. Условие параллельности:

$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $

Подставив наши коэффициенты, получаем:

$ \frac{a}{2} = \frac{8}{a} \neq \frac{b}{-1} $

Из равенства $ \frac{a}{2} = \frac{8}{a} $ мы уже определили, что $a=4$ или $a=-4$. Теперь для каждого значения $a$ нужно учесть неравенство.

1. При $a=4$ отношение $ \frac{a}{2} = 2 $. Неравенство $ \frac{b}{-1} \neq 2 $ дает $b \neq -2$.

2. При $a=-4$ отношение $ \frac{a}{2} = -2 $. Неравенство $ \frac{b}{-1} \neq -2 $ дает $b \neq 2$.

Ответ: прямые параллельны при $a=4$ и $b \neq -2$ или при $a=-4$ и $b \neq 2$.

в) перпендикулярны

Две прямые перпендикулярны, если скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ равно нулю. Условие перпендикулярности:

$ A_1A_2 + B_1B_2 = 0 $

Нормальные векторы для данных прямых: $\vec{n_1}=(a, 8)$ и $\vec{n_2}=(2, a)$.

Подставим коэффициенты в условие перпендикулярности:

$ a \cdot 2 + 8 \cdot a = 0 $

Решим полученное уравнение:

$ 2a + 8a = 0 $

$ 10a = 0 $

$ a = 0 $

Это условие не накладывает никаких ограничений на параметр $b$. Следовательно, при $a=0$ прямые будут перпендикулярны для любого действительного значения $b$.

Ответ: прямые перпендикулярны при $a=0$ и любом значении $b \in \mathbb{R}$.