Номер 5.37, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.37. Даны вершины треугольника ABC: $A(2; 0)$, $B(-3; 4)$, $C(0; 1)$. Найдите вектор, коллинеарный биссектрисе угла $\text{A}$.

Для нахождения вектора, коллинеарного биссектрисе угла A, воспользуемся свойством, согласно которому направляющий вектор биссектрисы угла, образованного двумя векторами, равен сумме их единичных векторов (ортов).

1. Найдем векторы, образующие угол A, исходящие из вершины A(2; 0) к вершинам B(-3; 4) и C(0; 1).

Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты, равные разности координат конца (B) и начала (A):

$\vec{AB} = (-3 - 2; 4 - 0) = (-5; 4)$

Аналогично для вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = (0 - 2; 1 - 0) = (-2; 1)$

2. Найдем длины (модули) этих векторов. Длина вектора $\vec{v}=(x;y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2}$.

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

3. Найдем единичные векторы (орты), сонаправленные с векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Единичный вектор получается делением вектора на его длину.

$\vec{e}_{AB} = \frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|} = \frac{1}{\sqrt{41}}(-5; 4)$

$\vec{e}_{AC} = \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|} = \frac{1}{\sqrt{5}}(-2; 1)$

4. Вектор $\vec{l}$, коллинеарный биссектрисе угла A, будет коллинеарен сумме этих единичных векторов:

$\vec{l} \sim \vec{e}_{AB} + \vec{e}_{AC} = \frac{1}{\sqrt{41}}(-5; 4) + \frac{1}{\sqrt{5}}(-2; 1)$

Чтобы получить вектор с более простыми для записи координатами, можно домножить полученный вектор на любое число. Удобно домножить на произведение длин $|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| = \sqrt{41} \cdot \sqrt{5}$, чтобы избавиться от знаменателей. Обозначим искомый вектор как $\vec{b}$:

$\vec{b} = |\vec{AC}|\vec{AB} + |\vec{AB}|\vec{AC}$

Подставим значения:

$\vec{b} = \sqrt{5}(-5; 4) + \sqrt{41}(-2; 1) = (-5\sqrt{5}; 4\sqrt{5}) + (-2\sqrt{41}; \sqrt{41})$

Складывая соответствующие компоненты векторов, получаем:

$\vec{b} = (-5\sqrt{5} - 2\sqrt{41}; 4\sqrt{5} + \sqrt{41})$

Ответ: любой вектор, коллинеарный вектору $ (-5\sqrt{5} - 2\sqrt{41}; 4\sqrt{5} + \sqrt{41}) $. Например, сам этот вектор.