Номер 5.30, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.30. Основания и меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равны $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ соответственно. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до основания и меньшей боковой стороны.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ — меньшая боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Согласно условию, длины оснований равны $a$ и $b$ (для определенности пусть $AD=a$ и $BC=b$), а длина меньшей боковой стороны равна $c$ ($AB=c$). Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Расстояние от точки пересечения диагоналей до оснований

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Они подобны по двум углам:

1. $\angle AOD = \angle COB$ как вертикальные углы.

2. $\angle OAD = \angle OCB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению оснований: $k = \frac{BC}{AD} = \frac{b}{a}$.

Расстояния от точки $O$ до оснований являются высотами этих подобных треугольников. Обозначим расстояние от $O$ до основания $AD$ (длиной $a$) как $h_a$, а расстояние до основания $BC$ (длиной $b$) как $h_b$. Отношение высот в подобных треугольниках равно коэффициенту подобия: $\frac{h_b}{h_a} = \frac{b}{a}$.

Сумма этих расстояний равна высоте трапеции $c$: $h_a + h_b = c$.

Получаем систему уравнений, которую решим относительно $h_a$ и $h_b$:

$h_b = h_a \cdot \frac{b}{a}$

$h_a + h_b = c$

Подставим первое уравнение во второе:

$h_a + h_a \cdot \frac{b}{a} = c$

$h_a \left(1 + \frac{b}{a}\right) = c$

$h_a \left(\frac{a+b}{a}\right) = c$

Отсюда находим расстояние до основания $a$: $h_a = \frac{ac}{a+b}$.

Теперь найдем расстояние до основания $b$:

$h_b = c - h_a = c - \frac{ac}{a+b} = \frac{c(a+b) - ac}{a+b} = \frac{ac+bc-ac}{a+b} = \frac{bc}{a+b}$.

Ответ: расстояние до основания длины $a$ равно $\frac{ac}{a+b}$, а до основания длины $b$ равно $\frac{bc}{a+b}$.

Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей боковой стороны

Расстояние от точки $O$ до меньшей боковой стороны $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $O$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $P$. Мы ищем длину отрезка $OP$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ ($\angle A = 90^\circ$). Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OP$ к катету $AB$. Так как $AD \perp AB$ и $OP \perp AB$, то $OP \parallel AD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BPO$ и $\triangle BDA$. Они подобны по двум углам:

1. $\angle B$ — общий.

2. $\angle BPO = \angle BAD = 90^\circ$.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон: $\frac{OP}{AD} = \frac{BO}{BD}$.

Из подобия треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ (рассмотренного в предыдущем пункте) мы знаем, что точка $O$ делит диагональ $BD$ в отношении $\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{b}{a}$.

Выразим отношение $\frac{BO}{BD}$. Так как $BD = BO + OD$ и $OD = BO \cdot \frac{a}{b}$, получаем:

$BD = BO + BO \cdot \frac{a}{b} = BO \left(1 + \frac{a}{b}\right) = BO \left(\frac{b+a}{b}\right)$.

Отсюда $\frac{BO}{BD} = \frac{BO}{BO \left(\frac{a+b}{b}\right)} = \frac{b}{a+b}$.

Теперь подставим это отношение в формулу из подобия $\triangle BPO$ и $\triangle BDA$:

$\frac{OP}{AD} = \frac{b}{a+b}$.

Так как $AD = a$, получаем:

$\frac{OP}{a} = \frac{b}{a+b}$.

$OP = \frac{ab}{a+b}$.

Ответ: $\frac{ab}{a+b}$.