Номер 5.28, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.28. Около окружности радиусом $\text{R}$ описана трапеция, меньшее основание которой равно $1.5R$. Найдите площадь этой трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, описанная около окружности, где $BC$ - меньшее основание, а $AD$ - большее. Пусть $R$ - радиус вписанной окружности. По условию, $BC = 1,5R$.

Высота трапеции, описанной около окружности, равна диаметру этой окружности. Следовательно, высота $h = 2R$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$

Для любого описанного четырехугольника, в том числе и для трапеции, суммы длин противоположных сторон равны. То есть:

$AD + BC = AB + CD$

Площадь трапеции также можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр $p$. Полупериметр $p = \frac{AB+BC+CD+AD}{2} = \frac{(AD+BC) + (AB+CD)}{2}$. Так как $AD+BC = AB+CD$, то $p = AD+BC$.

Тогда площадь $S = p \cdot R = (AD+BC) \cdot R$. Чтобы найти площадь, нам нужно найти длину большего основания $AD$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с центром вписанной окружности $O$. Соединим центр $O$ с вершинами $A$ и $B$. Лучи $AO$ и $BO$ являются биссектрисами углов $\angle DAB$ и $\angle ABC$ соответственно. Так как $AD || BC$, то $\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$. Следовательно, $\angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2}\angle DAB + \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}(\angle DAB + \angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle AOB$ сумма двух углов равна $90^\circ$, значит, третий угол $\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. То есть, $\triangle AOB$ - прямоугольный.

Аналогично можно доказать, что $\triangle COD$ также является прямоугольным.

Пусть $K, L, M, N$ - точки касания окружности со сторонами $AB, BC, CD, AD$ соответственно. Тогда $OK \perp AB$. $OK$ является высотой в прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$, проведенной к гипотенузе, и $OK=R$. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $OK^2 = AK \cdot BK$.

$R^2 = AK \cdot BK$

Аналогично для треугольника $\triangle COD$: $R^2 = CM \cdot DM$.

По свойству касательных, проведенных из одной точки, имеем:

$AK = AN$, $BK = BL$, $CM = CL$, $DM = DN$.

Найдем длины оснований. Меньшее основание:

$BC = BL + CL = BK + CM = 1,5R$

Большее основание:

$AD = AN + DN = AK + DM$

Из соотношений $R^2 = AK \cdot BK$ и $R^2 = CM \cdot DM$ выразим $AK$ и $DM$:

$AK = \frac{R^2}{BK}$

$DM = \frac{R^2}{CM}$

Тогда $AD = \frac{R^2}{BK} + \frac{R^2}{CM} = R^2(\frac{1}{BK} + \frac{1}{CM}) = R^2 \frac{BK+CM}{BK \cdot CM}$.

Подставим $BK+CM = 1,5R$:

$AD = \frac{R^2 \cdot 1,5R}{BK \cdot CM} = \frac{1,5R^3}{BK \cdot CM}$

В общем случае задача имеет бесконечное множество решений, так как площадь зависит от произведения $BK \cdot CM$, которое не является постоянным. Однако, в задачах такого типа обычно подразумевается равнобокая трапеция, для которой решение единственно.

В равнобокой трапеции боковые стороны равны ($AB=CD$), и она симметрична относительно оси, проходящей через середины оснований. Из симметрии следует, что $BK = CM$.

Тогда из $BK + CM = 1,5R$ получаем $2BK = 1,5R$, откуда $BK = 0,75R$.

Теперь можем найти $AK$:

$AK = \frac{R^2}{BK} = \frac{R^2}{0,75R} = \frac{R}{3/4} = \frac{4}{3}R$.

Так как трапеция равнобокая, $DM=AK=\frac{4}{3}R$.

Большее основание $AD = AK+DM = \frac{4}{3}R + \frac{4}{3}R = \frac{8}{3}R$.

Теперь мы можем найти площадь трапеции:

$S = (AD+BC) \cdot R = (\frac{8}{3}R + 1,5R) \cdot R = (\frac{8}{3}R + \frac{3}{2}R) \cdot R = (\frac{16R+9R}{6}) \cdot R = \frac{25R}{6} \cdot R = \frac{25}{6}R^2$.

Ответ: $\frac{25}{6}R^2$