Номер 5.33, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.33. В прямоугольный треугольник с катетами $\text{a}$ и $\text{b}$ вписан квадрат, имеющий с ним общий прямой угол. Найдите сторону квадрата.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты треугольника равны $BC = a$ и $AC = b$. В этот треугольник вписан квадрат $CDEF$, который имеет с треугольником общий прямой угол $C$. Это означает, что две стороны квадрата лежат на катетах треугольника. Пусть вершина $D$ квадрата лежит на катете $BC$, вершина $F$ — на катете $AC$, а четвертая вершина $E$ лежит на гипотенузе $AB$.

Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда $CD = CF = DE = EF = x$. Рассмотрим два треугольника: исходный треугольник $ABC$ и маленький треугольник $AFE$, который образовался над квадратом.

Так как $CDEF$ — квадрат, то его сторона $EF$ параллельна катету $BC$. Следовательно, треугольник $AFE$ подобен треугольнику $ACB$ по двум углам (угол $A$ у них общий, а углы $AFE$ и $ACB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $BC$ и секущей $AC$, и оба они прямые).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AF}{AC} = \frac{FE}{CB}$

Найдем длины отрезков, входящих в эту пропорцию:

$AC = b$ (катет исходного треугольника).

$CB = a$ (второй катет исходного треугольника).

$FE = x$ (сторона квадрата).

$AF = AC - FC = b - x$.

Подставим эти значения в пропорцию:

$\frac{b-x}{b} = \frac{x}{a}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$a(b-x) = b \cdot x$

$ab - ax = bx$

$ab = ax + bx$

$ab = x(a+b)$

$x = \frac{ab}{a+b}$

Ответ: $\frac{ab}{a+b}$