Номер 5.31, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.31. Основание треугольника и высота, опущенная на эту сторону, равны $\text{a}$ и $\text{h}$ соответственно. Найдите сумму боковых сторон, если угол между ними равен $\varphi$.

Пусть боковые стороны треугольника равны $b$ и $c$. Угол между ними равен $\phi$. Основание треугольника равно $a$, а высота, опущенная на это основание, равна $h$. Нам необходимо найти сумму $b+c$.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить двумя способами.

1. Через основание $a$ и высоту $h$:

$S = \frac{1}{2}ah$

2. Через две стороны $b$, $c$ и угол $\phi$ между ними:

$S = \frac{1}{2}bc \sin\phi$

Приравняем эти два выражения для площади: $\frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}bc \sin\phi$

Отсюда мы можем выразить произведение боковых сторон: $bc = \frac{ah}{\sin\phi}$

Теперь применим теорему косинусов для стороны $a$, которая лежит напротив угла $\phi$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\phi$

Из этого уравнения выразим сумму квадратов боковых сторон: $b^2 + c^2 = a^2 + 2bc \cos\phi$

Нас интересует сумма $b+c$. Рассмотрим ее квадрат: $(b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc$

Подставим в это выражение найденное нами $b^2+c^2$: $(b+c)^2 = (a^2 + 2bc \cos\phi) + 2bc = a^2 + 2bc(1 + \cos\phi)$

Теперь подставим ранее полученное выражение для произведения $bc$: $(b+c)^2 = a^2 + 2 \left(\frac{ah}{\sin\phi}\right) (1 + \cos\phi) = a^2 + 2ah \frac{1 + \cos\phi}{\sin\phi}$

Упростим тригонометрическое отношение, используя формулы половинного угла: $1 + \cos\phi = 2\cos^2\frac{\phi}{2}$ $\sin\phi = 2\sin\frac{\phi}{2}\cos\frac{\phi}{2}$

Тогда: $\frac{1 + \cos\phi}{\sin\phi} = \frac{2\cos^2\frac{\phi}{2}}{2\sin\frac{\phi}{2}\cos\frac{\phi}{2}} = \frac{\cos\frac{\phi}{2}}{\sin\frac{\phi}{2}} = \cot\frac{\phi}{2}$

Подставив это упрощенное выражение обратно в формулу для квадрата суммы, получаем: $(b+c)^2 = a^2 + 2ah \cot\frac{\phi}{2}$

Так как сумма длин сторон является положительной величиной, извлекаем квадратный корень: $b+c = \sqrt{a^2 + 2ah \cot\frac{\phi}{2}}$

Ответ: $\sqrt{a^2 + 2ah \cot\frac{\phi}{2}}$